Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13256 / 6520
↖ ↑ ↗
← N 34.452219°
E111.269531°		 ← 2 014.67 m → N 34.452219°
E111.291504°		 →
↑
2 014.96 m
↓
↑
2 014.96 m
↓
N 34.434098°
E111.269531°		 ← 2 015.11 m →
4 059 913 m²		 N 34.434098°
E111.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809112548828125 y=0.397979736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809112548828125 × 214)
    floor (0.809112548828125 × 16384)
    floor (13256.5)     		tx = 13256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.397979736328125 × 214)
    floor (0.397979736328125 × 16384)
    floor (6520.5)     		ty = 6520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13256 / 6520 ti = "14/13256/6520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13256/6520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13256 ÷ 214
    13256 ÷ 16384     		x = 0.80908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6520 ÷ 214
    6520 ÷ 16384     		y = 0.39794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80908203125 × 2 - 1) × π
    0.6181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94201968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.39794921875 × 2 - 1) × π
    0.2041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.641203969317871
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94201968} λ = 1.94201968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.641203969317871))-π/2
    2×atan(1.89876555916181)-π/2
    2×1.08605048687351-π/2
    2.17210097374702-1.57079632675     		φ = 0.60130465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94201968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60130465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.452219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13256 KachelY 6520 1.94201968 0.60130465 111.269531 34.452219
    Oben rechts KachelX + 1 13257 KachelY 6520 1.94240317 0.60130465 111.291504 34.452219
    Unten links KachelX 13256 KachelY + 1 6521 1.94201968 0.60098838 111.269531 34.434098
    Unten rechts KachelX + 1 13257 KachelY + 1 6521 1.94240317 0.60098838 111.291504 34.434098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60130465-0.60098838) × R
    0.000316270000000007 × 6371000     		dl = 2014.95617000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60130465-0.60098838) × R
    0.000316270000000007 × 6371000     		dr = 2014.95617000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94201968-1.94240317) × cos(0.60130465) × R
    0.000383489999999931 × 0.824598251909172 × 6371000     		do = 2014.67064487227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94201968-1.94240317) × cos(0.60098838) × R
    0.000383489999999931 × 0.824777130539594 × 6371000     		du = 2015.10768378773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60130465)-sin(0.60098838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824598251909172-0.824777130539594)×R²
    abs(1.94240317-1.94201968)×0.000178878630421986×R²
    0.000383489999999931×0.000178878630421986×6371000²
    0.000383489999999931×0.000178878630421986×40589641000000     		ar = 4059913.38737449m²