Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13255 / 6601
↖ ↑ ↗
← N 32.971804°
E111.247558°		 ← 2 049.76 m → N 32.971804°
E111.269531°		 →
↑
2 050 m
↓
↑
2 050 m
↓
N 32.953368°
E111.247558°		 ← 2 050.19 m →
4 202 440 m²		 N 32.953368°
E111.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809051513671875 y=0.402923583984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809051513671875 × 214)
    floor (0.809051513671875 × 16384)
    floor (13255.5)     		tx = 13255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402923583984375 × 214)
    floor (0.402923583984375 × 16384)
    floor (6601.5)     		ty = 6601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13255 / 6601 ti = "14/13255/6601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13255/6601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13255 ÷ 214
    13255 ÷ 16384     		x = 0.80902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6601 ÷ 214
    6601 ÷ 16384     		y = 0.40289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80902099609375 × 2 - 1) × π
    0.6180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94163618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    0.1942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.610140858364075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94163618} λ = 1.94163618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.610140858364075))-π/2
    2×atan(1.84069065719659)-π/2
    2×1.0731314314996-π/2
    2.14626286299921-1.57079632675     		φ = 0.57546654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94163618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.247558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57546654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.971804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13255 KachelY 6601 1.94163618 0.57546654 111.247558 32.971804
    Oben rechts KachelX + 1 13256 KachelY 6601 1.94201968 0.57546654 111.269531 32.971804
    Unten links KachelX 13255 KachelY + 1 6602 1.94163618 0.57514477 111.247558 32.953368
    Unten rechts KachelX + 1 13256 KachelY + 1 6602 1.94201968 0.57514477 111.269531 32.953368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57546654-0.57514477) × R
    0.000321769999999999 × 6371000     		dl = 2049.99666999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57546654-0.57514477) × R
    0.000321769999999999 × 6371000     		dr = 2049.99666999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94163618-1.94201968) × cos(0.57546654) × R
    0.000383500000000092 × 0.838938490417496 × 6371000     		do = 2049.76037646002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94163618-1.94201968) × cos(0.57514477) × R
    0.000383500000000092 × 0.839113562664238 × 6371000     		du = 2050.18812671643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57546654)-sin(0.57514477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838938490417496-0.839113562664238)×R²
    abs(1.94201968-1.94163618)×0.000175072246741848×R²
    0.000383500000000092×0.000175072246741848×6371000²
    0.000383500000000092×0.000175072246741848×40589641000000     		ar = 4202440.42560033m²