Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13251 / 25551
↖ ↑ ↗
← S 70.433120°
W 34.420166°		 ← 409.14 m → S 70.433120°
W 34.409180°		 →
↑
409.08 m
↓
↑
409.08 m
↓
S 70.436799°
W 34.420166°		 ← 409.06 m →
167 355 m²		 S 70.436799°
W 34.409180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404403686523438 y=0.779769897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404403686523438 × 215)
    floor (0.404403686523438 × 32768)
    floor (13251.5)     		tx = 13251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779769897460938 × 215)
    floor (0.779769897460938 × 32768)
    floor (25551.5)     		ty = 25551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13251 / 25551 ti = "15/13251/25551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13251/25551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13251 ÷ 215
    13251 ÷ 32768     		x = 0.404388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25551 ÷ 215
    25551 ÷ 32768     		y = 0.779754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.19122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60074523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.55950927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75775023526822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60074523} λ = -0.60074523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75775023526822))-π/2
    2×atan(0.172432360014155)-π/2
    2×0.170753242333666-π/2
    0.341506484667333-1.57079632675     		φ = -1.22928984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60074523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.420166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22928984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.433120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13251 KachelY 25551 -0.60074523 -1.22928984 -34.420166 -70.433120
    Oben rechts KachelX + 1 13252 KachelY 25551 -0.60055348 -1.22928984 -34.409180 -70.433120
    Unten links KachelX 13251 KachelY + 1 25552 -0.60074523 -1.22935405 -34.420166 -70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 13252 KachelY + 1 25552 -0.60055348 -1.22935405 -34.409180 -70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22928984--1.22935405) × R
    6.4209999999898e-05 × 6371000     		dl = 409.08190999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22928984--1.22935405) × R
    6.4209999999898e-05 × 6371000     		dr = 409.08190999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60074523--0.60055348) × cos(-1.22928984) × R
    0.000191750000000046 × 0.334906960633234 × 6371000     		do = 409.135488207862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60074523--0.60055348) × cos(-1.22935405) × R
    0.000191750000000046 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 409.061575808062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22928984)-sin(-1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334906960633234-0.334846457993195)×R²
    abs(-0.60055348--0.60074523)×6.0502640038429e-05×R²
    0.000191750000000046×6.0502640038429e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.0502640038429e-05×40589641000000     		ar = 167354.808908726m²