Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1325 / 723
↖ ↑ ↗
← N 81.394229°
W121.772461°		 ← 731.19 m → N 81.394229°
W121.728516°		 →
↑
731.45 m
↓
↑
731.45 m
↓
N 81.387650°
W121.772461°		 ← 731.74 m →
535 035 m²		 N 81.387650°
W121.728516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16180419921875 y=0.08831787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16180419921875 × 213)
    floor (0.16180419921875 × 8192)
    floor (1325.5)     		tx = 1325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08831787109375 × 213)
    floor (0.08831787109375 × 8192)
    floor (723.5)     		ty = 723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1325 / 723 ti = "13/1325/723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1325/723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1325 ÷ 213
    1325 ÷ 8192     		x = 0.1617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 723 ÷ 213
    723 ÷ 8192     		y = 0.0882568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12533038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0882568359375 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58705859869519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12533038} λ = -2.12533038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58705859869519))-π/2
    2×atan(13.2906210026502)-π/2
    2×1.49569680262321-π/2
    2.99139360524642-1.57079632675     		φ = 1.42059728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12533038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.772461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42059728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.394229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1325 KachelY 723 -2.12533038 1.42059728 -121.772461 81.394229
    Oben rechts KachelX + 1 1326 KachelY 723 -2.12456339 1.42059728 -121.728516 81.394229
    Unten links KachelX 1325 KachelY + 1 724 -2.12533038 1.42048247 -121.772461 81.387650
    Unten rechts KachelX + 1 1326 KachelY + 1 724 -2.12456339 1.42048247 -121.728516 81.387650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42059728-1.42048247) × R
    0.00011480999999991 × 6371000     		dl = 731.454509999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42059728-1.42048247) × R
    0.00011480999999991 × 6371000     		dr = 731.454509999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12533038--2.12456339) × cos(1.42059728) × R
    0.000766989999999801 × 0.149634941225908 × 6371000     		do = 731.190136249753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12533038--2.12456339) × cos(1.42048247) × R
    0.000766989999999801 × 0.149748457629629 × 6371000     		du = 731.744833394841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42059728)-sin(1.42048247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149634941225908-0.149748457629629)×R²
    abs(-2.12456339--2.12533038)×0.000113516403721065×R²
    0.000766989999999801×0.000113516403721065×6371000²
    0.000766989999999801×0.000113516403721065×40589641000000     		ar = 535035.191277469m²