Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1325 / 2871
↖ ↑ ↗
← S 58.401712°
W 63.544922°		 ← 5 120.66 m → S 58.401712°
W 63.457031°		 →
↑
5 117.31 m
↓
↑
5 117.31 m
↓
S 58.447733°
W 63.544922°		 ← 5 113.97 m →
26 186 911 m²		 S 58.447733°
W 63.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2871 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3236083984375 y=0.7010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3236083984375 × 212)
    floor (0.3236083984375 × 4096)
    floor (1325.5)     		tx = 1325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7010498046875 × 212)
    floor (0.7010498046875 × 4096)
    floor (2871.5)     		ty = 2871
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1325 / 2871 ti = "12/1325/2871"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1325/2871.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1325 ÷ 212
    1325 ÷ 4096     		x = 0.323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2871 ÷ 212
    2871 ÷ 4096     		y = 0.700927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.35302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10906811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.40185546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.2624661883938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10906811} λ = -1.10906811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.2624661883938))-π/2
    2×atan(0.282955344127062)-π/2
    2×0.275747084706828-π/2
    0.551494169413656-1.57079632675     		φ = -1.01930216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10906811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01930216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.401712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1325 KachelY 2871 -1.10906811 -1.01930216 -63.544922 -58.401712
    Oben rechts KachelX + 1 1326 KachelY 2871 -1.10753413 -1.01930216 -63.457031 -58.401712
    Unten links KachelX 1325 KachelY + 1 2872 -1.10906811 -1.02010538 -63.544922 -58.447733
    Unten rechts KachelX + 1 1326 KachelY + 1 2872 -1.10753413 -1.02010538 -63.457031 -58.447733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01930216--1.02010538) × R
    0.000803219999999882 × 6371000     		dl = 5117.31461999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01930216--1.02010538) × R
    0.000803219999999882 × 6371000     		dr = 5117.31461999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10906811--1.10753413) × cos(-1.01930216) × R
    0.00153398000000005 × 0.52396045883088 × 6371000     		do = 5120.65853260498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10906811--1.10753413) × cos(-1.02010538) × R
    0.00153398000000005 × 0.523276153202488 × 6371000     		du = 5113.97082288209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01930216)-sin(-1.02010538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52396045883088-0.523276153202488)×R²
    abs(-1.10753413--1.10906811)×0.000684305628391724×R²
    0.00153398000000005×0.000684305628391724×6371000²
    0.00153398000000005×0.000684305628391724×40589641000000     		ar = 26186910.6234561m²