Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1325 / 2868
↖ ↑ ↗
← S 58.263287°
W 63.544922°		 ← 5 140.75 m → S 58.263287°
W 63.457031°		 →
↑
5 137.45 m
↓
↑
5 137.45 m
↓
S 58.309489°
W 63.544922°		 ← 5 134.05 m →
26 393 133 m²		 S 58.309489°
W 63.457031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3236083984375 y=0.7003173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3236083984375 × 212)
    floor (0.3236083984375 × 4096)
    floor (1325.5)     		tx = 1325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7003173828125 × 212)
    floor (0.7003173828125 × 4096)
    floor (2868.5)     		ty = 2868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1325 / 2868 ti = "12/1325/2868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1325/2868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1325 ÷ 212
    1325 ÷ 4096     		x = 0.323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2868 ÷ 212
    2868 ÷ 4096     		y = 0.7001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.35302734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.10906811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7001953125 × 2 - 1) × π
    -0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10906811} λ = -1.10906811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25786424603027))-π/2
    2×atan(0.284260489109831)-π/2
    2×0.276955067356672-π/2
    0.553910134713345-1.57079632675     		φ = -1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10906811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.544922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1325 KachelY 2868 -1.10906811 -1.01688619 -63.544922 -58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 1326 KachelY 2868 -1.10753413 -1.01688619 -63.457031 -58.263287
    Unten links KachelX 1325 KachelY + 1 2869 -1.10906811 -1.01769257 -63.544922 -58.309489
    Unten rechts KachelX + 1 1326 KachelY + 1 2869 -1.10753413 -1.01769257 -63.457031 -58.309489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01688619--1.01769257) × R
    0.000806379999999995 × 6371000     		dl = 5137.44697999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01688619--1.01769257) × R
    0.000806379999999995 × 6371000     		dr = 5137.44697999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10906811--1.10753413) × cos(-1.01688619) × R
    0.00153398000000005 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 5140.75426935019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10906811--1.10753413) × cos(-1.01769257) × R
    0.00153398000000005 × 0.525330735859434 × 6371000     		du = 5134.05023161592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01688619)-sin(-1.01769257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.525330735859434)×R²
    abs(-1.10753413--1.10906811)×0.000685976357317486×R²
    0.00153398000000005×0.000685976357317486×6371000²
    0.00153398000000005×0.000685976357317486×40589641000000     		ar = 26393133.1069614m²