Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13249 / 25550
↖ ↑ ↗
← S 70.429440°
W 34.442139°		 ← 409.21 m → S 70.429440°
W 34.431152°		 →
↑
409.15 m
↓
↑
409.15 m
↓
S 70.433120°
W 34.442139°		 ← 409.14 m →
167 411 m²		 S 70.433120°
W 34.431152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404342651367188 y=0.779739379882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404342651367188 × 215)
    floor (0.404342651367188 × 32768)
    floor (13249.5)     		tx = 13249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779739379882812 × 215)
    floor (0.779739379882812 × 32768)
    floor (25550.5)     		ty = 25550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13249 / 25550 ti = "15/13249/25550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13249/25550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13249 ÷ 215
    13249 ÷ 32768     		x = 0.404327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25550 ÷ 215
    25550 ÷ 32768     		y = 0.77972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.19134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60112872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.5594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75755848766974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60112872} λ = -0.60112872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75755848766974))-π/2
    2×atan(0.172465426675213)-π/2
    2×0.170785354036954-π/2
    0.341570708073908-1.57079632675     		φ = -1.22922562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60112872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.442139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22922562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.429440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13249 KachelY 25550 -0.60112872 -1.22922562 -34.442139 -70.429440
    Oben rechts KachelX + 1 13250 KachelY 25550 -0.60093697 -1.22922562 -34.431152 -70.429440
    Unten links KachelX 13249 KachelY + 1 25551 -0.60112872 -1.22928984 -34.442139 -70.433120
    Unten rechts KachelX + 1 13250 KachelY + 1 25551 -0.60093697 -1.22928984 -34.431152 -70.433120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22922562--1.22928984) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dl = 409.145620000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22922562--1.22928984) × R
    6.42200000000592e-05 × 6371000     		dr = 409.145620000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60112872--0.60093697) × cos(-1.22922562) × R
    0.000191749999999935 × 0.334967471314773 × 6371000     		do = 409.209410431238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60112872--0.60093697) × cos(-1.22928984) × R
    0.000191749999999935 × 0.334906960633234 × 6371000     		du = 409.135488207625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22922562)-sin(-1.22928984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334967471314773-0.334906960633234)×R²
    abs(-0.60093697--0.60112872)×6.05106815395051e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05106815395051e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05106815395051e-05×40589641000000     		ar = 167411.115521567m²