Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13248 / 6597
↖ ↑ ↗
← N 33.045508°
E111.093750°		 ← 2 047.99 m → N 33.045508°
E111.115723°		 →
↑
2 048.21 m
↓
↑
2 048.21 m
↓
N 33.027088°
E111.093750°		 ← 2 048.42 m →
4 195 168 m²		 N 33.027088°
E111.115723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808624267578125 y=0.402679443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808624267578125 × 214)
    floor (0.808624267578125 × 16384)
    floor (13248.5)     		tx = 13248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402679443359375 × 214)
    floor (0.402679443359375 × 16384)
    floor (6597.5)     		ty = 6597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13248 / 6597 ti = "14/13248/6597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13248/6597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13248 ÷ 214
    13248 ÷ 16384     		x = 0.80859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6597 ÷ 214
    6597 ÷ 16384     		y = 0.40264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80859375 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93895172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40264892578125 × 2 - 1) × π
    0.1947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93895172} λ = 1.93895172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.611674839151917))-π/2
    2×atan(1.84351640807076)-π/2
    2×1.07377462057197-π/2
    2.14754924114394-1.57079632675     		φ = 0.57675291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93895172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57675291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.045508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13248 KachelY 6597 1.93895172 0.57675291 111.093750 33.045508
    Oben rechts KachelX + 1 13249 KachelY 6597 1.93933521 0.57675291 111.115723 33.045508
    Unten links KachelX 13248 KachelY + 1 6598 1.93895172 0.57643142 111.093750 33.027088
    Unten rechts KachelX + 1 13249 KachelY + 1 6598 1.93933521 0.57643142 111.115723 33.027088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57675291-0.57643142) × R
    0.000321489999999924 × 6371000     		dl = 2048.21278999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57675291-0.57643142) × R
    0.000321489999999924 × 6371000     		dr = 2048.21278999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93895172-1.93933521) × cos(0.57675291) × R
    0.000383490000000153 × 0.83823772017589 × 6371000     		do = 2047.99479547043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93895172-1.93933521) × cos(0.57643142) × R
    0.000383490000000153 × 0.838412986953479 × 6371000     		du = 2048.42300985363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57675291)-sin(0.57643142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83823772017589-0.838412986953479)×R²
    abs(1.93933521-1.93895172)×0.000175266777588501×R²
    0.000383490000000153×0.000175266777588501×6371000²
    0.000383490000000153×0.000175266777588501×40589641000000     		ar = 4195167.7071572m²