Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13248 / 23493
↖ ↑ ↗
← S 61.296626°
W 34.453125°		 ← 586.72 m → S 61.296626°
W 34.442139°		 →
↑
586.64 m
↓
↑
586.64 m
↓
S 61.301902°
W 34.453125°		 ← 586.62 m →
344 167 m²		 S 61.301902°
W 34.442139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404312133789062 y=0.716964721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404312133789062 × 215)
    floor (0.404312133789062 × 32768)
    floor (13248.5)     		tx = 13248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716964721679688 × 215)
    floor (0.716964721679688 × 32768)
    floor (23493.5)     		ty = 23493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13248 / 23493 ti = "15/13248/23493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13248/23493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13248 ÷ 215
    13248 ÷ 32768     		x = 0.404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23493 ÷ 215
    23493 ÷ 32768     		y = 0.716949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404296875 × 2 - 1) × π
    -0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.43389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36313367759592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60132047} λ = -0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36313367759592))-π/2
    2×atan(0.255857743707856)-π/2
    2×0.250484189745607-π/2
    0.500968379491213-1.57079632675     		φ = -1.06982795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06982795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.296626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13248 KachelY 23493 -0.60132047 -1.06982795 -34.453125 -61.296626
    Oben rechts KachelX + 1 13249 KachelY 23493 -0.60112872 -1.06982795 -34.442139 -61.296626
    Unten links KachelX 13248 KachelY + 1 23494 -0.60132047 -1.06992003 -34.453125 -61.301902
    Unten rechts KachelX + 1 13249 KachelY + 1 23494 -0.60112872 -1.06992003 -34.442139 -61.301902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06982795--1.06992003) × R
    9.20799999999389e-05 × 6371000     		dl = 586.641679999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06982795--1.06992003) × R
    9.20799999999389e-05 × 6371000     		dr = 586.641679999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60132047--0.60112872) × cos(-1.06982795) × R
    0.000191750000000046 × 0.480275144268423 × 6371000     		do = 586.722967037859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60132047--0.60112872) × cos(-1.06992003) × R
    0.000191750000000046 × 0.480194377217541 × 6371000     		du = 586.624298838394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06982795)-sin(-1.06992003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480275144268423-0.480194377217541)×R²
    abs(-0.60112872--0.60132047)×8.07670508819469e-05×R²
    0.000191750000000046×8.07670508819469e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.07670508819469e-05×40589641000000     		ar = 344167.20588108m²