Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13247 / 6596
↖ ↑ ↗
← N 33.063924°
E111.071777°		 ← 2 047.62 m → N 33.063924°
E111.093750°		 →
↑
2 047.83 m
↓
↑
2 047.83 m
↓
N 33.045508°
E111.071777°		 ← 2 048.05 m →
4 193 617 m²		 N 33.045508°
E111.093750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808563232421875 y=0.402618408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808563232421875 × 214)
    floor (0.808563232421875 × 16384)
    floor (13247.5)     		tx = 13247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402618408203125 × 214)
    floor (0.402618408203125 × 16384)
    floor (6596.5)     		ty = 6596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13247 / 6596 ti = "14/13247/6596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13247/6596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13247 ÷ 214
    13247 ÷ 16384     		x = 0.80853271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6596 ÷ 214
    6596 ÷ 16384     		y = 0.402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80853271484375 × 2 - 1) × π
    0.6170654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93856822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    0.19482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.612058334348877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93856822} λ = 1.93856822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.612058334348877))-π/2
    2×atan(1.84422352333776)-π/2
    2×1.07393533383363-π/2
    2.14787066766727-1.57079632675     		φ = 0.57707434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93856822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.071777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57707434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.063924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13247 KachelY 6596 1.93856822 0.57707434 111.071777 33.063924
    Oben rechts KachelX + 1 13248 KachelY 6596 1.93895172 0.57707434 111.093750 33.063924
    Unten links KachelX 13247 KachelY + 1 6597 1.93856822 0.57675291 111.071777 33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 13248 KachelY + 1 6597 1.93895172 0.57675291 111.093750 33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57707434-0.57675291) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dl = 2047.83053000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57707434-0.57675291) × R
    0.000321430000000067 × 6371000     		dr = 2047.83053000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93856822-1.93895172) × cos(0.57707434) × R
    0.00038349999999987 × 0.83806239949602 × 6371000     		do = 2047.61984234634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93856822-1.93895172) × cos(0.57675291) × R
    0.00038349999999987 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 2048.04819959407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57707434)-sin(0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83806239949602-0.83823772017589)×R²
    abs(1.93895172-1.93856822)×0.000175320679870028×R²
    0.00038349999999987×0.000175320679870028×6371000²
    0.00038349999999987×0.000175320679870028×40589641000000     		ar = 4193617.06462274m²