Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13247 / 23489
↖ ↑ ↗
← S 61.275513°
W 34.464112°		 ← 587.12 m → S 61.275513°
W 34.453125°		 →
↑
587.02 m
↓
↑
587.02 m
↓
S 61.280793°
W 34.464112°		 ← 587.02 m →
344 623 m²		 S 61.280793°
W 34.453125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404281616210938 y=0.716842651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404281616210938 × 215)
    floor (0.404281616210938 × 32768)
    floor (13247.5)     		tx = 13247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716842651367188 × 215)
    floor (0.716842651367188 × 32768)
    floor (23489.5)     		ty = 23489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13247 / 23489 ti = "15/13247/23489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13247/23489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13247 ÷ 215
    13247 ÷ 32768     		x = 0.404266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23489 ÷ 215
    23489 ÷ 32768     		y = 0.716827392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.19146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60151222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.43365478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.362366687202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60151222} λ = -0.60151222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.362366687202))-π/2
    2×atan(0.256054059415997)-π/2
    2×0.250668434921085-π/2
    0.50133686984217-1.57079632675     		φ = -1.06945946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60151222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.464112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06945946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.275513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13247 KachelY 23489 -0.60151222 -1.06945946 -34.464112 -61.275513
    Oben rechts KachelX + 1 13248 KachelY 23489 -0.60132047 -1.06945946 -34.453125 -61.275513
    Unten links KachelX 13247 KachelY + 1 23490 -0.60151222 -1.06955160 -34.464112 -61.280793
    Unten rechts KachelX + 1 13248 KachelY + 1 23490 -0.60132047 -1.06955160 -34.453125 -61.280793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06945946--1.06955160) × R
    9.21400000000183e-05 × 6371000     		dl = 587.023940000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06945946--1.06955160) × R
    9.21400000000183e-05 × 6371000     		dr = 587.023940000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60151222--0.60132047) × cos(-1.06945946) × R
    0.000191750000000046 × 0.480598320823839 × 6371000     		do = 587.117772202635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60151222--0.60132047) × cos(-1.06955160) × R
    0.000191750000000046 × 0.480517517453967 × 6371000     		du = 587.019059634468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06945946)-sin(-1.06955160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480598320823839-0.480517517453967)×R²
    abs(-0.60132047--0.60151222)×8.08033698717625e-05×R²
    0.000191750000000046×8.08033698717625e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.08033698717625e-05×40589641000000     		ar = 344623.21480564m²