Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13246 / 6588
↖ ↑ ↗
← N 33.211116°
E111.049805°		 ← 2 044.14 m → N 33.211116°
E111.071777°		 →
↑
2 044.39 m
↓
↑
2 044.39 m
↓
N 33.192731°
E111.049805°		 ← 2 044.56 m →
4 179 449 m²		 N 33.192731°
E111.071777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808502197265625 y=0.402130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808502197265625 × 214)
    floor (0.808502197265625 × 16384)
    floor (13246.5)     		tx = 13246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402130126953125 × 214)
    floor (0.402130126953125 × 16384)
    floor (6588.5)     		ty = 6588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13246 / 6588 ti = "14/13246/6588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13246/6588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13246 ÷ 214
    13246 ÷ 16384     		x = 0.8084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6588 ÷ 214
    6588 ÷ 16384     		y = 0.402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8084716796875 × 2 - 1) × π
    0.616943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93818473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402099609375 × 2 - 1) × π
    0.19580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.615126295924561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93818473} λ = 1.93818473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.615126295924561))-π/2
    2×atan(1.84989021840093)-π/2
    2×1.07521982874359-π/2
    2.15043965748719-1.57079632675     		φ = 0.57964333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93818473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.049805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57964333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.211116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13246 KachelY 6588 1.93818473 0.57964333 111.049805 33.211116
    Oben rechts KachelX + 1 13247 KachelY 6588 1.93856822 0.57964333 111.071777 33.211116
    Unten links KachelX 13246 KachelY + 1 6589 1.93818473 0.57932244 111.049805 33.192731
    Unten rechts KachelX + 1 13247 KachelY + 1 6589 1.93856822 0.57932244 111.071777 33.192731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57964333-0.57932244) × R
    0.000320890000000018 × 6371000     		dl = 2044.39019000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57964333-0.57932244) × R
    0.000320890000000018 × 6371000     		dr = 2044.39019000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93818473-1.93856822) × cos(0.57964333) × R
    0.000383490000000153 × 0.836658060403913 × 6371000     		do = 2044.13534735237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93818473-1.93856822) × cos(0.57932244) × R
    0.000383490000000153 × 0.8368337769806 × 6371000     		du = 2044.56466069138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57964333)-sin(0.57932244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836658060403913-0.8368337769806)×R²
    abs(1.93856822-1.93818473)×0.000175716576687024×R²
    0.000383490000000153×0.000175716576687024×6371000²
    0.000383490000000153×0.000175716576687024×40589641000000     		ar = 4179449.12901229m²