Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13245 / 6589
↖ ↑ ↗
← N 33.192731°
E111.027832°		 ← 2 044.62 m → N 33.192731°
E111.049805°		 →
↑
2 044.77 m
↓
↑
2 044.77 m
↓
N 33.174342°
E111.027832°		 ← 2 045.05 m →
4 181 217 m²		 N 33.174342°
E111.049805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808441162109375 y=0.402191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808441162109375 × 214)
    floor (0.808441162109375 × 16384)
    floor (13245.5)     		tx = 13245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.402191162109375 × 214)
    floor (0.402191162109375 × 16384)
    floor (6589.5)     		ty = 6589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13245 / 6589 ti = "14/13245/6589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13245/6589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13245 ÷ 214
    13245 ÷ 16384     		x = 0.80841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6589 ÷ 214
    6589 ÷ 16384     		y = 0.40216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80841064453125 × 2 - 1) × π
    0.6168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93780123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40216064453125 × 2 - 1) × π
    0.1956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.6147428007276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93780123} λ = 1.93780123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.6147428007276))-π/2
    2×atan(1.84918093040023)-π/2
    2×1.07505938472253-π/2
    2.15011876944507-1.57079632675     		φ = 0.57932244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93780123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.027832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57932244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.192731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13245 KachelY 6589 1.93780123 0.57932244 111.027832 33.192731
    Oben rechts KachelX + 1 13246 KachelY 6589 1.93818473 0.57932244 111.049805 33.192731
    Unten links KachelX 13245 KachelY + 1 6590 1.93780123 0.57900149 111.027832 33.174342
    Unten rechts KachelX + 1 13246 KachelY + 1 6590 1.93818473 0.57900149 111.049805 33.174342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57932244-0.57900149) × R
    0.000320949999999987 × 6371000     		dl = 2044.77244999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57932244-0.57900149) × R
    0.000320949999999987 × 6371000     		dr = 2044.77244999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93780123-1.93818473) × cos(0.57932244) × R
    0.00038349999999987 × 0.8368337769806 × 6371000     		do = 2044.6179753698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93780123-1.93818473) × cos(0.57900149) × R
    0.00038349999999987 × 0.837009440219494 × 6371000     		du = 2045.04716958463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57932244)-sin(0.57900149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8368337769806-0.837009440219494)×R²
    abs(1.93818473-1.93780123)×0.000175663238894064×R²
    0.00038349999999987×0.000175663238894064×6371000²
    0.00038349999999987×0.000175663238894064×40589641000000     		ar = 4181217.34495561m²