Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13243 / 25542
↖ ↑ ↗
← S 70.399978°
W 34.508057°		 ← 409.80 m → S 70.399978°
W 34.497070°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
S 70.403663°
W 34.508057°		 ← 409.73 m →
167 914 m²		 S 70.403663°
W 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404159545898438 y=0.779495239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404159545898438 × 215)
    floor (0.404159545898438 × 32768)
    floor (13243.5)     		tx = 13243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779495239257812 × 215)
    floor (0.779495239257812 × 32768)
    floor (25542.5)     		ty = 25542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13243 / 25542 ti = "15/13243/25542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13243/25542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13243 ÷ 215
    13243 ÷ 32768     		x = 0.404144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25542 ÷ 215
    25542 ÷ 32768     		y = 0.77947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.19171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60227921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.5589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7560245068819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60227921} λ = -0.60227921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7560245068819))-π/2
    2×atan(0.172730188344039)-π/2
    2×0.171042456617758-π/2
    0.342084913235516-1.57079632675     		φ = -1.22871141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60227921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.508057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22871141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.399978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13243 KachelY 25542 -0.60227921 -1.22871141 -34.508057 -70.399978
    Oben rechts KachelX + 1 13244 KachelY 25542 -0.60208746 -1.22871141 -34.497070 -70.399978
    Unten links KachelX 13243 KachelY + 1 25543 -0.60227921 -1.22877573 -34.508057 -70.403663
    Unten rechts KachelX + 1 13244 KachelY + 1 25543 -0.60208746 -1.22877573 -34.497070 -70.403663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22871141--1.22877573) × R
    6.43199999998956e-05 × 6371000     		dl = 409.782719999335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22871141--1.22877573) × R
    6.43199999998956e-05 × 6371000     		dr = 409.782719999335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60227921--0.60208746) × cos(-1.22871141) × R
    0.000191749999999935 × 0.335451930938833 × 6371000     		do = 409.801245323029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60227921--0.60208746) × cos(-1.22877573) × R
    0.000191749999999935 × 0.335391337117892 × 6371000     		du = 409.72722153306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22871141)-sin(-1.22877573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335451930938833-0.335391337117892)×R²
    abs(-0.60208746--0.60227921)×6.05938209417567e-05×R²
    0.000191749999999935×6.05938209417567e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.05938209417567e-05×40589641000000     		ar = 167914.302190505m²