Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13243 / 25539
↖ ↑ ↗
← S 70.388919°
W 34.508057°		 ← 410.02 m → S 70.388919°
W 34.497070°		 →
↑
410.04 m
↓
↑
410.04 m
↓
S 70.392606°
W 34.508057°		 ← 409.95 m →
168 110 m²		 S 70.392606°
W 34.497070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404159545898438 y=0.779403686523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404159545898438 × 215)
    floor (0.404159545898438 × 32768)
    floor (13243.5)     		tx = 13243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779403686523438 × 215)
    floor (0.779403686523438 × 32768)
    floor (25539.5)     		ty = 25539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13243 / 25539 ti = "15/13243/25539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13243/25539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13243 ÷ 215
    13243 ÷ 32768     		x = 0.404144287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25539 ÷ 215
    25539 ÷ 32768     		y = 0.779388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.19171142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60227921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.55877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75544926408646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60227921} λ = -0.60227921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75544926408646))-π/2
    2×atan(0.172829578724499)-π/2
    2×0.171138965916836-π/2
    0.342277931833672-1.57079632675     		φ = -1.22851839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60227921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.508057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22851839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.388919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13243 KachelY 25539 -0.60227921 -1.22851839 -34.508057 -70.388919
    Oben rechts KachelX + 1 13244 KachelY 25539 -0.60208746 -1.22851839 -34.497070 -70.388919
    Unten links KachelX 13243 KachelY + 1 25540 -0.60227921 -1.22858275 -34.508057 -70.392606
    Unten rechts KachelX + 1 13244 KachelY + 1 25540 -0.60208746 -1.22858275 -34.497070 -70.392606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22851839--1.22858275) × R
    6.43599999998745e-05 × 6371000     		dl = 410.037559999201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22851839--1.22858275) × R
    6.43599999998745e-05 × 6371000     		dr = 410.037559999201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60227921--0.60208746) × cos(-1.22851839) × R
    0.000191749999999935 × 0.335633760593497 × 6371000     		do = 410.02337556598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60227921--0.60208746) × cos(-1.22858275) × R
    0.000191749999999935 × 0.335573133257393 × 6371000     		du = 409.949310832573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22851839)-sin(-1.22858275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335633760593497-0.335573133257393)×R²
    abs(-0.60208746--0.60227921)×6.06273361039023e-05×R²
    0.000191749999999935×6.06273361039023e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.06273361039023e-05×40589641000000     		ar = 168109.799856305m²