Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13241 / 25546
↖ ↑ ↗
← S 70.414715°
W 34.530029°		 ← 409.51 m → S 70.414715°
W 34.519043°		 →
↑
409.46 m
↓
↑
409.46 m
↓
S 70.418397°
W 34.530029°		 ← 409.43 m →
167 663 m²		 S 70.418397°
W 34.519043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404098510742188 y=0.779617309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404098510742188 × 215)
    floor (0.404098510742188 × 32768)
    floor (13241.5)     		tx = 13241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779617309570312 × 215)
    floor (0.779617309570312 × 32768)
    floor (25546.5)     		ty = 25546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13241 / 25546 ti = "15/13241/25546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13241/25546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13241 ÷ 215
    13241 ÷ 32768     		x = 0.404083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25546 ÷ 215
    25546 ÷ 32768     		y = 0.77960205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.19183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60266270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77960205078125 × 2 - 1) × π
    -0.5592041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75679149727582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60266270} λ = -0.60266270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75679149727582))-π/2
    2×atan(0.172597756742215)-π/2
    2×0.170913858880809-π/2
    0.341827717761618-1.57079632675     		φ = -1.22896861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60266270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.530029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22896861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.414715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13241 KachelY 25546 -0.60266270 -1.22896861 -34.530029 -70.414715
    Oben rechts KachelX + 1 13242 KachelY 25546 -0.60247095 -1.22896861 -34.519043 -70.414715
    Unten links KachelX 13241 KachelY + 1 25547 -0.60266270 -1.22903288 -34.530029 -70.418397
    Unten rechts KachelX + 1 13242 KachelY + 1 25547 -0.60247095 -1.22903288 -34.519043 -70.418397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22896861--1.22903288) × R
    6.42700000001994e-05 × 6371000     		dl = 409.464170001271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22896861--1.22903288) × R
    6.42700000001994e-05 × 6371000     		dr = 409.464170001271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60266270--0.60247095) × cos(-1.22896861) × R
    0.000191750000000046 × 0.335209622702346 × 6371000     		do = 409.505232070976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60266270--0.60247095) × cos(-1.22903288) × R
    0.000191750000000046 × 0.33514907044275 × 6371000     		du = 409.431259053976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22896861)-sin(-1.22903288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335209622702346-0.33514907044275)×R²
    abs(-0.60247095--0.60266270)×6.05522595967245e-05×R²
    0.000191750000000046×6.05522595967245e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.05522595967245e-05×40589641000000     		ar = 167662.575369218m²