Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13240 / 5415
↖ ↑ ↗
← N 51.957807°
E110.917969°		 ← 1 505.65 m → N 51.957807°
E110.939941°		 →
↑
1 505.85 m
↓
↑
1 505.85 m
↓
N 51.944265°
E110.917969°		 ← 1 506.10 m →
2 267 625 m²		 N 51.944265°
E110.939941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808135986328125 y=0.330535888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808135986328125 × 214)
    floor (0.808135986328125 × 16384)
    floor (13240.5)     		tx = 13240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330535888671875 × 214)
    floor (0.330535888671875 × 16384)
    floor (5415.5)     		ty = 5415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13240 / 5415 ti = "14/13240/5415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13240/5415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13240 ÷ 214
    13240 ÷ 16384     		x = 0.80810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5415 ÷ 214
    5415 ÷ 16384     		y = 0.33050537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80810546875 × 2 - 1) × π
    0.6162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.93588375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33050537109375 × 2 - 1) × π
    0.3389892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06496616195917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93588375} λ = 1.93588375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06496616195917))-π/2
    2×atan(2.90074082701237)-π/2
    2×1.23881556891313-π/2
    2.47763113782626-1.57079632675     		φ = 0.90683481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93588375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.917969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90683481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.957807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13240 KachelY 5415 1.93588375 0.90683481 110.917969 51.957807
    Oben rechts KachelX + 1 13241 KachelY 5415 1.93626725 0.90683481 110.939941 51.957807
    Unten links KachelX 13240 KachelY + 1 5416 1.93588375 0.90659845 110.917969 51.944265
    Unten rechts KachelX + 1 13241 KachelY + 1 5416 1.93626725 0.90659845 110.939941 51.944265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90683481-0.90659845) × R
    0.000236360000000047 × 6371000     		dl = 1505.8495600003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90683481-0.90659845) × R
    0.000236360000000047 × 6371000     		dr = 1505.8495600003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93588375-1.93626725) × cos(0.90683481) × R
    0.000383500000000092 × 0.616241600276933 × 6371000     		do = 1505.64985276259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93588375-1.93626725) × cos(0.90659845) × R
    0.000383500000000092 × 0.616427730073519 × 6371000     		du = 1506.10461969279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90683481)-sin(0.90659845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616241600276933-0.616427730073519)×R²
    abs(1.93626725-1.93588375)×0.000186129796586276×R²
    0.000383500000000092×0.000186129796586276×6371000²
    0.000383500000000092×0.000186129796586276×40589641000000     		ar = 2267624.5841452m²