Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13238 / 5579
↖ ↑ ↗
← N 49.681847°
E110.874023°		 ← 1 580.88 m → N 49.681847°
E110.895996°		 →
↑
1 581.09 m
↓
↑
1 581.09 m
↓
N 49.667628°
E110.874023°		 ← 1 581.34 m →
2 499 877 m²		 N 49.667628°
E110.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808013916015625 y=0.340545654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808013916015625 × 214)
    floor (0.808013916015625 × 16384)
    floor (13238.5)     		tx = 13238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340545654296875 × 214)
    floor (0.340545654296875 × 16384)
    floor (5579.5)     		ty = 5579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13238 / 5579 ti = "14/13238/5579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13238/5579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13238 ÷ 214
    13238 ÷ 16384     		x = 0.8079833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5579 ÷ 214
    5579 ÷ 16384     		y = 0.34051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8079833984375 × 2 - 1) × π
    0.615966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.93511676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34051513671875 × 2 - 1) × π
    0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93511676} λ = 1.93511676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00207294965765))-π/2
    2×atan(2.72392253427445)-π/2
    2×1.21895406682133-π/2
    2.43790813364265-1.57079632675     		φ = 0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93511676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.874023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13238 KachelY 5579 1.93511676 0.86711181 110.874023 49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 13239 KachelY 5579 1.93550026 0.86711181 110.895996 49.681847
    Unten links KachelX 13238 KachelY + 1 5580 1.93511676 0.86686364 110.874023 49.667628
    Unten rechts KachelX + 1 13239 KachelY + 1 5580 1.93550026 0.86686364 110.895996 49.667628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86711181-0.86686364) × R
    0.000248169999999992 × 6371000     		dl = 1581.09106999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86711181-0.86686364) × R
    0.000248169999999992 × 6371000     		dr = 1581.09106999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93511676-1.93550026) × cos(0.86711181) × R
    0.00038349999999987 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 1580.87786424423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93511676-1.93550026) × cos(0.86686364) × R
    0.00038349999999987 × 0.647220582517329 × 6371000     		du = 1581.34013402153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86711181)-sin(0.86686364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.647220582517329)×R²
    abs(1.93550026-1.93511676)×0.000189200607831341×R²
    0.00038349999999987×0.000189200607831341×6371000²
    0.00038349999999987×0.000189200607831341×40589641000000     		ar = 2499877.33205636m²