Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13238 / 25577
↖ ↑ ↗
← S 70.528560°
W 34.562988°		 ← 407.20 m → S 70.528560°
W 34.552002°		 →
↑
407.17 m
↓
↑
407.17 m
↓
S 70.532221°
W 34.562988°		 ← 407.12 m →
165 783 m²		 S 70.532221°
W 34.552002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404006958007812 y=0.780563354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404006958007812 × 215)
    floor (0.404006958007812 × 32768)
    floor (13238.5)     		tx = 13238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780563354492188 × 215)
    floor (0.780563354492188 × 32768)
    floor (25577.5)     		ty = 25577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13238 / 25577 ti = "15/13238/25577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13238/25577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13238 ÷ 215
    13238 ÷ 32768     		x = 0.40399169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25577 ÷ 215
    25577 ÷ 32768     		y = 0.780548095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40399169921875 × 2 - 1) × π
    -0.1920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60323794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.56109619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7627356728287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60323794} λ = -0.60323794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7627356728287))-π/2
    2×atan(0.171574848560892)-π/2
    2×0.169920371605851-π/2
    0.339840743211701-1.57079632675     		φ = -1.23095558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60323794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.562988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23095558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.528560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13238 KachelY 25577 -0.60323794 -1.23095558 -34.562988 -70.528560
    Oben rechts KachelX + 1 13239 KachelY 25577 -0.60304620 -1.23095558 -34.552002 -70.528560
    Unten links KachelX 13238 KachelY + 1 25578 -0.60323794 -1.23101949 -34.562988 -70.532221
    Unten rechts KachelX + 1 13239 KachelY + 1 25578 -0.60304620 -1.23101949 -34.552002 -70.532221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23095558--1.23101949) × R
    6.39099999999448e-05 × 6371000     		dl = 407.170609999649m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23095558--1.23101949) × R
    6.39099999999448e-05 × 6371000     		dr = 407.170609999649m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60323794--0.60304620) × cos(-1.23095558) × R
    0.000191739999999996 × 0.333336951210457 × 6371000     		do = 407.196266176859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60323794--0.60304620) × cos(-1.23101949) × R
    0.000191739999999996 × 0.333276695685644 × 6371000     		du = 407.122659501597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23095558)-sin(-1.23101949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333336951210457-0.333276695685644)×R²
    abs(-0.60304620--0.60323794)×6.02555248132575e-05×R²
    0.000191739999999996×6.02555248132575e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.02555248132575e-05×40589641000000     		ar = 165783.366907452m²