Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13237 / 25541
↖ ↑ ↗
← S 70.396293°
W 34.573974°		 ← 409.88 m → S 70.396293°
W 34.562988°		 →
↑
409.78 m
↓
↑
409.78 m
↓
S 70.399978°
W 34.573974°		 ← 409.80 m →
167 945 m²		 S 70.399978°
W 34.562988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403976440429688 y=0.779464721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403976440429688 × 215)
    floor (0.403976440429688 × 32768)
    floor (13237.5)     		tx = 13237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779464721679688 × 215)
    floor (0.779464721679688 × 32768)
    floor (25541.5)     		ty = 25541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13237 / 25541 ti = "15/13237/25541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13237/25541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13237 ÷ 215
    13237 ÷ 32768     		x = 0.403961181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25541 ÷ 215
    25541 ÷ 32768     		y = 0.779449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.19207763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60342969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779449462890625 × 2 - 1) × π
    -0.55889892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75583275928342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60342969} λ = -0.60342969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75583275928342))-π/2
    2×atan(0.17276331211844)-π/2
    2×0.171074620573412-π/2
    0.342149241146824-1.57079632675     		φ = -1.22864709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60342969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.573974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22864709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.396293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13237 KachelY 25541 -0.60342969 -1.22864709 -34.573974 -70.396293
    Oben rechts KachelX + 1 13238 KachelY 25541 -0.60323794 -1.22864709 -34.562988 -70.396293
    Unten links KachelX 13237 KachelY + 1 25542 -0.60342969 -1.22871141 -34.573974 -70.399978
    Unten rechts KachelX + 1 13238 KachelY + 1 25542 -0.60323794 -1.22871141 -34.562988 -70.399978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22864709--1.22871141) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dl = 409.782720000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22864709--1.22871141) × R
    6.43200000001176e-05 × 6371000     		dr = 409.782720000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60342969--0.60323794) × cos(-1.22864709) × R
    0.000191750000000046 × 0.33551252337199 × 6371000     		do = 409.875267417864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60342969--0.60323794) × cos(-1.22871141) × R
    0.000191750000000046 × 0.335451930938833 × 6371000     		du = 409.801245323267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22864709)-sin(-1.22871141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33551252337199-0.335451930938833)×R²
    abs(-0.60323794--0.60342969)×6.05924331564256e-05×R²
    0.000191750000000046×6.05924331564256e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.05924331564256e-05×40589641000000     		ar = 167944.635513751m²