Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13234 / 5435
↖ ↑ ↗
← N 51.686179°
E110.786133°		 ← 1 514.76 m → N 51.686179°
E110.808106°		 →
↑
1 514.96 m
↓
↑
1 514.96 m
↓
N 51.672555°
E110.786133°		 ← 1 515.21 m →
2 295 139 m²		 N 51.672555°
E110.808106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.807769775390625 y=0.331756591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.807769775390625 × 214)
    floor (0.807769775390625 × 16384)
    floor (13234.5)     		tx = 13234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331756591796875 × 214)
    floor (0.331756591796875 × 16384)
    floor (5435.5)     		ty = 5435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13234 / 5435 ti = "14/13234/5435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13234/5435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13234 ÷ 214
    13234 ÷ 16384     		x = 0.8077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5435 ÷ 214
    5435 ÷ 16384     		y = 0.33172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8077392578125 × 2 - 1) × π
    0.615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.93358278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33172607421875 × 2 - 1) × π
    0.3365478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05729625801996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.93358278} λ = 1.93358278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05729625801996))-π/2
    2×atan(2.87857752735703)-π/2
    2×1.23644516883771-π/2
    2.47289033767542-1.57079632675     		φ = 0.90209401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.93358278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.786133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90209401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.686179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13234 KachelY 5435 1.93358278 0.90209401 110.786133 51.686179
    Oben rechts KachelX + 1 13235 KachelY 5435 1.93396628 0.90209401 110.808106 51.686179
    Unten links KachelX 13234 KachelY + 1 5436 1.93358278 0.90185622 110.786133 51.672555
    Unten rechts KachelX + 1 13235 KachelY + 1 5436 1.93396628 0.90185622 110.808106 51.672555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90209401-0.90185622) × R
    0.000237790000000015 × 6371000     		dl = 1514.9600900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90209401-0.90185622) × R
    0.000237790000000015 × 6371000     		dr = 1514.9600900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.93358278-1.93396628) × cos(0.90209401) × R
    0.00038349999999987 × 0.619968312245982 × 6371000     		do = 1514.75524799138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.93358278-1.93396628) × cos(0.90185622) × R
    0.00038349999999987 × 0.620154871134822 × 6371000     		du = 1515.21106331347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90209401)-sin(0.90185622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619968312245982-0.620154871134822)×R²
    abs(1.93396628-1.93358278)×0.000186558888840671×R²
    0.00038349999999987×0.000186558888840671×6371000²
    0.00038349999999987×0.000186558888840671×40589641000000     		ar = 2295139.02864957m²