Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13233 / 23589
↖ ↑ ↗
← S 61.799093°
W 34.617920°		 ← 577.27 m → S 61.799093°
W 34.606934°		 →
↑
577.28 m
↓
↑
577.28 m
↓
S 61.804284°
W 34.617920°		 ← 577.18 m →
333 218 m²		 S 61.804284°
W 34.606934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403854370117188 y=0.719894409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403854370117188 × 215)
    floor (0.403854370117188 × 32768)
    floor (13233.5)     		tx = 13233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719894409179688 × 215)
    floor (0.719894409179688 × 32768)
    floor (23589.5)     		ty = 23589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13233 / 23589 ti = "15/13233/23589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13233/23589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13233 ÷ 215
    13233 ÷ 32768     		x = 0.403839111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23589 ÷ 215
    23589 ÷ 32768     		y = 0.719879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.19232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60419668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.43975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38154144705002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60419668} λ = -0.60419668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38154144705002))-π/2
    2×atan(0.251191056770527)-π/2
    2×0.246099343196046-π/2
    0.492198686392091-1.57079632675     		φ = -1.07859764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60419668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.617920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07859764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.799093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13233 KachelY 23589 -0.60419668 -1.07859764 -34.617920 -61.799093
    Oben rechts KachelX + 1 13234 KachelY 23589 -0.60400494 -1.07859764 -34.606934 -61.799093
    Unten links KachelX 13233 KachelY + 1 23590 -0.60419668 -1.07868825 -34.617920 -61.804284
    Unten rechts KachelX + 1 13234 KachelY + 1 23590 -0.60400494 -1.07868825 -34.606934 -61.804284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07859764--1.07868825) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dl = 577.276309999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07859764--1.07868825) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dr = 577.276309999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60419668--0.60400494) × cos(-1.07859764) × R
    0.000191739999999996 × 0.472564722658109 × 6371000     		do = 577.273506266017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60419668--0.60400494) × cos(-1.07868825) × R
    0.000191739999999996 × 0.472484866490655 × 6371000     		du = 577.175955925137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07859764)-sin(-1.07868825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472564722658109-0.472484866490655)×R²
    abs(-0.60400494--0.60419668)×7.98561674538734e-05×R²
    0.000191739999999996×7.98561674538734e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.98561674538734e-05×40589641000000     		ar = 333218.163036027m²