Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13231 / 25554
↖ ↑ ↗
← S 70.444155°
W 34.639893°		 ← 408.91 m → S 70.444155°
W 34.628906°		 →
↑
408.89 m
↓
↑
408.89 m
↓
S 70.447832°
W 34.639893°		 ← 408.84 m →
167 186 m²		 S 70.447832°
W 34.628906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403793334960938 y=0.779861450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403793334960938 × 215)
    floor (0.403793334960938 × 32768)
    floor (13231.5)     		tx = 13231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779861450195312 × 215)
    floor (0.779861450195312 × 32768)
    floor (25554.5)     		ty = 25554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13231 / 25554 ti = "15/13231/25554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13231/25554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13231 ÷ 215
    13231 ÷ 32768     		x = 0.403778076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25554 ÷ 215
    25554 ÷ 32768     		y = 0.77984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.19244384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60458018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75832547806366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60458018} λ = -0.60458018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75832547806366))-π/2
    2×atan(0.172333198065189)-π/2
    2×0.170656942027573-π/2
    0.341313884055147-1.57079632675     		φ = -1.22948244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60458018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.639893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22948244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.444155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13231 KachelY 25554 -0.60458018 -1.22948244 -34.639893 -70.444155
    Oben rechts KachelX + 1 13232 KachelY 25554 -0.60438843 -1.22948244 -34.628906 -70.444155
    Unten links KachelX 13231 KachelY + 1 25555 -0.60458018 -1.22954662 -34.639893 -70.447832
    Unten rechts KachelX + 1 13232 KachelY + 1 25555 -0.60438843 -1.22954662 -34.628906 -70.447832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22948244--1.22954662) × R
    6.41800000000803e-05 × 6371000     		dl = 408.890780000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22948244--1.22954662) × R
    6.41800000000803e-05 × 6371000     		dr = 408.890780000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60458018--0.60438843) × cos(-1.22948244) × R
    0.000191750000000046 × 0.334725476841199 × 6371000     		do = 408.913780484273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60458018--0.60438843) × cos(-1.22954662) × R
    0.000191750000000046 × 0.334664998331029 × 6371000     		du = 408.839897562468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22948244)-sin(-1.22954662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334725476841199-0.334664998331029)×R²
    abs(-0.60438843--0.60458018)×6.04785101698813e-05×R²
    0.000191750000000046×6.04785101698813e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.04785101698813e-05×40589641000000     		ar = 167185.96968985m²