Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13230 / 2865
↖ ↑ ↗
← N 81.438502°
W 34.650879°		 ← 181.87 m → N 81.438502°
W 34.639893°		 →
↑
181.89 m
↓
↑
181.89 m
↓
N 81.436866°
W 34.650879°		 ← 181.90 m →
33 083 m²		 N 81.436866°
W 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403762817382812 y=0.0874481201171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403762817382812 × 215)
    floor (0.403762817382812 × 32768)
    floor (13230.5)     		tx = 13230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874481201171875 × 215)
    floor (0.0874481201171875 × 32768)
    floor (2865.5)     		ty = 2865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13230 / 2865 ti = "15/13230/2865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13230/2865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13230 ÷ 215
    13230 ÷ 32768     		x = 0.40374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2865 ÷ 215
    2865 ÷ 32768     		y = 0.087432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60477193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087432861328125 × 2 - 1) × π
    0.82513427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.59223578385416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60477193} λ = -0.60477193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59223578385416))-π/2
    2×atan(13.3596074321297)-π/2
    2×1.49608315678986-π/2
    2.99216631357973-1.57079632675     		φ = 1.42136999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60477193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.650879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42136999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.438502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13230 KachelY 2865 -0.60477193 1.42136999 -34.650879 81.438502
    Oben rechts KachelX + 1 13231 KachelY 2865 -0.60458018 1.42136999 -34.639893 81.438502
    Unten links KachelX 13230 KachelY + 1 2866 -0.60477193 1.42134144 -34.650879 81.436866
    Unten rechts KachelX + 1 13231 KachelY + 1 2866 -0.60458018 1.42134144 -34.639893 81.436866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42136999-1.42134144) × R
    2.85500000001271e-05 × 6371000     		dl = 181.89205000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42136999-1.42134144) × R
    2.85500000001271e-05 × 6371000     		dr = 181.89205000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60477193--0.60458018) × cos(1.42136999) × R
    0.000191749999999935 × 0.14887088632977 × 6371000     		do = 181.866517922674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60477193--0.60458018) × cos(1.42134144) × R
    0.000191749999999935 × 0.148899118126235 × 6371000     		du = 181.901006993333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42136999)-sin(1.42134144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14887088632977-0.148899118126235)×R²
    abs(-0.60458018--0.60477193)×2.82317964640511e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82317964640511e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82317964640511e-05×40589641000000     		ar = 33083.2104180547m²