Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13230 / 25558
↖ ↑ ↗
← S 70.458859°
W 34.650879°		 ← 408.62 m → S 70.458859°
W 34.639893°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
S 70.462534°
W 34.650879°		 ← 408.54 m →
166 935 m²		 S 70.462534°
W 34.639893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403762817382812 y=0.779983520507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403762817382812 × 215)
    floor (0.403762817382812 × 32768)
    floor (13230.5)     		tx = 13230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779983520507812 × 215)
    floor (0.779983520507812 × 32768)
    floor (25558.5)     		ty = 25558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13230 / 25558 ti = "15/13230/25558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13230/25558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13230 ÷ 215
    13230 ÷ 32768     		x = 0.40374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25558 ÷ 215
    25558 ÷ 32768     		y = 0.77996826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40374755859375 × 2 - 1) × π
    -0.1925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60477193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77996826171875 × 2 - 1) × π
    -0.5599365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75909246845758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60477193} λ = -0.60477193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75909246845758))-π/2
    2×atan(0.172201070834355)-π/2
    2×0.170528622794065-π/2
    0.341057245588131-1.57079632675     		φ = -1.22973908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60477193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.650879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22973908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.458859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13230 KachelY 25558 -0.60477193 -1.22973908 -34.650879 -70.458859
    Oben rechts KachelX + 1 13231 KachelY 25558 -0.60458018 -1.22973908 -34.639893 -70.458859
    Unten links KachelX 13230 KachelY + 1 25559 -0.60477193 -1.22980321 -34.650879 -70.462534
    Unten rechts KachelX + 1 13231 KachelY + 1 25559 -0.60458018 -1.22980321 -34.639893 -70.462534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22973908--1.22980321) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dl = 408.572229999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22973908--1.22980321) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dr = 408.572229999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60477193--0.60458018) × cos(-1.22973908) × R
    0.000191749999999935 × 0.334483629922586 × 6371000     		do = 408.618330795767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60477193--0.60458018) × cos(-1.22980321) × R
    0.000191749999999935 × 0.334423193022742 × 6371000     		du = 408.544498706769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22973908)-sin(-1.22980321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334483629922586-0.334423193022742)×R²
    abs(-0.60458018--0.60477193)×6.04368998443072e-05×R²
    0.000191749999999935×6.04368998443072e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.04368998443072e-05×40589641000000     		ar = 166935.019819037m²