Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1323 / 1959
↖ ↑ ↗
← N 68.024022°
W121.860351°		 ← 1 828.61 m → N 68.024022°
W121.816406°		 →
↑
1 829.24 m
↓
↑
1 829.24 m
↓
N 68.007571°
W121.860351°		 ← 1 829.91 m →
3 346 165 m²		 N 68.007571°
W121.816406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16156005859375 y=0.23919677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16156005859375 × 213)
    floor (0.16156005859375 × 8192)
    floor (1323.5)     		tx = 1323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23919677734375 × 213)
    floor (0.23919677734375 × 8192)
    floor (1959.5)     		ty = 1959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1323 / 1959 ti = "13/1323/1959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1323/1959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1323 ÷ 213
    1323 ÷ 8192     		x = 0.1614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1959 ÷ 213
    1959 ÷ 8192     		y = 0.2391357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12686436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2391357421875 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63905847180896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12686436} λ = -2.12686436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63905847180896))-π/2
    2×atan(5.15031805905768)-π/2
    2×1.37901974044919-π/2
    2.75803948089839-1.57079632675     		φ = 1.18724315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12686436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.860351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18724315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.024022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1323 KachelY 1959 -2.12686436 1.18724315 -121.860351 68.024022
    Oben rechts KachelX + 1 1324 KachelY 1959 -2.12609737 1.18724315 -121.816406 68.024022
    Unten links KachelX 1323 KachelY + 1 1960 -2.12686436 1.18695603 -121.860351 68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 1324 KachelY + 1 1960 -2.12609737 1.18695603 -121.816406 68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18724315-1.18695603) × R
    0.000287120000000085 × 6371000     		dl = 1829.24152000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18724315-1.18695603) × R
    0.000287120000000085 × 6371000     		dr = 1829.24152000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12686436--2.12609737) × cos(1.18724315) × R
    0.000766989999999801 × 0.374217830658067 × 6371000     		do = 1828.61291850852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12686436--2.12609737) × cos(1.18695603) × R
    0.000766989999999801 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 1829.91391153203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18724315)-sin(1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374217830658067-0.374484073328689)×R²
    abs(-2.12609737--2.12686436)×0.00026624267062253×R²
    0.000766989999999801×0.00026624267062253×6371000²
    0.000766989999999801×0.00026624267062253×40589641000000     		ar = 3346164.61275904m²