Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13229 / 2866
↖ ↑ ↗
← N 81.436866°
W 34.661865°		 ← 181.89 m → N 81.436866°
W 34.650879°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
N 81.435229°
W 34.661865°		 ← 181.93 m →
33 099 m²		 N 81.435229°
W 34.650879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403732299804688 y=0.0874786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403732299804688 × 215)
    floor (0.403732299804688 × 32768)
    floor (13229.5)     		tx = 13229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874786376953125 × 215)
    floor (0.0874786376953125 × 32768)
    floor (2866.5)     		ty = 2866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13229 / 2866 ti = "15/13229/2866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13229/2866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13229 ÷ 215
    13229 ÷ 32768     		x = 0.403717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2866 ÷ 215
    2866 ÷ 32768     		y = 0.08746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.19256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60496367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08746337890625 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59204403625568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60496367} λ = -0.60496367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59204403625568))-π/2
    2×atan(13.3570460050695)-π/2
    2×1.49606888261887-π/2
    2.99213776523773-1.57079632675     		φ = 1.42134144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60496367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.661865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42134144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.436866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13229 KachelY 2866 -0.60496367 1.42134144 -34.661865 81.436866
    Oben rechts KachelX + 1 13230 KachelY 2866 -0.60477193 1.42134144 -34.650879 81.436866
    Unten links KachelX 13229 KachelY + 1 2867 -0.60496367 1.42131288 -34.661865 81.435229
    Unten rechts KachelX + 1 13230 KachelY + 1 2867 -0.60477193 1.42131288 -34.650879 81.435229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42134144-1.42131288) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dl = 181.955760000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42134144-1.42131288) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dr = 181.955760000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60496367--0.60477193) × cos(1.42134144) × R
    0.000191739999999996 × 0.148899118126235 × 6371000     		do = 181.891520630575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60496367--0.60477193) × cos(1.42131288) × R
    0.000191739999999996 × 0.148927359689812 × 6371000     		du = 181.926019833852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42134144)-sin(1.42131288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148899118126235-0.148927359689812)×R²
    abs(-0.60477193--0.60496367)×2.82415635773914e-05×R²
    0.000191739999999996×2.82415635773914e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.82415635773914e-05×40589641000000     		ar = 33099.3485404252m²