Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13229 / 25564
↖ ↑ ↗
← S 70.480896°
W 34.661865°		 ← 408.15 m → S 70.480896°
W 34.650879°		 →
↑
408.13 m
↓
↑
408.13 m
↓
S 70.484566°
W 34.661865°		 ← 408.08 m →
166 563 m²		 S 70.484566°
W 34.650879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403732299804688 y=0.780166625976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403732299804688 × 215)
    floor (0.403732299804688 × 32768)
    floor (13229.5)     		tx = 13229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780166625976562 × 215)
    floor (0.780166625976562 × 32768)
    floor (25564.5)     		ty = 25564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13229 / 25564 ti = "15/13229/25564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13229/25564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13229 ÷ 215
    13229 ÷ 32768     		x = 0.403717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25564 ÷ 215
    25564 ÷ 32768     		y = 0.7801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.19256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60496367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60496367} λ = -0.60496367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76024295404846))-π/2
    2×atan(0.172003069904074)-π/2
    2×0.170336317770417-π/2
    0.340672635540835-1.57079632675     		φ = -1.23012369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60496367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.661865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23012369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.480896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13229 KachelY 25564 -0.60496367 -1.23012369 -34.661865 -70.480896
    Oben rechts KachelX + 1 13230 KachelY 25564 -0.60477193 -1.23012369 -34.650879 -70.480896
    Unten links KachelX 13229 KachelY + 1 25565 -0.60496367 -1.23018775 -34.661865 -70.484566
    Unten rechts KachelX + 1 13230 KachelY + 1 25565 -0.60477193 -1.23018775 -34.650879 -70.484566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23012369--1.23018775) × R
    6.40599999999214e-05 × 6371000     		dl = 408.126259999499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23012369--1.23018775) × R
    6.40599999999214e-05 × 6371000     		dr = 408.126259999499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60496367--0.60477193) × cos(-1.23012369) × R
    0.000191739999999996 × 0.334121148128101 × 6371000     		do = 408.154221949996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60496367--0.60477193) × cos(-1.23018775) × R
    0.000191739999999996 × 0.334060768962029 × 6371000     		du = 408.080464237597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23012369)-sin(-1.23018775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334121148128101-0.334060768962029)×R²
    abs(-0.60477193--0.60496367)×6.03791660720998e-05×R²
    0.000191739999999996×6.03791660720998e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.03791660720998e-05×40589641000000     		ar = 166563.404934491m²