Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13228 / 23594
↖ ↑ ↗
← S 61.825040°
W 34.672852°		 ← 576.82 m → S 61.825040°
W 34.661865°		 →
↑
576.77 m
↓
↑
576.77 m
↓
S 61.830227°
W 34.672852°		 ← 576.72 m →
332 660 m²		 S 61.830227°
W 34.661865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403701782226562 y=0.720046997070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403701782226562 × 215)
    floor (0.403701782226562 × 32768)
    floor (13228.5)     		tx = 13228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720046997070312 × 215)
    floor (0.720046997070312 × 32768)
    floor (23594.5)     		ty = 23594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13228 / 23594 ti = "15/13228/23594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13228/23594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13228 ÷ 215
    13228 ÷ 32768     		x = 0.4036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23594 ÷ 215
    23594 ÷ 32768     		y = 0.72003173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60515542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.4400634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38250018504242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60515542} λ = -0.60515542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38250018504242))-π/2
    2×atan(0.250950345768879)-π/2
    2×0.245872906002699-π/2
    0.491745812005398-1.57079632675     		φ = -1.07905051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60515542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.672852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07905051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.825040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13228 KachelY 23594 -0.60515542 -1.07905051 -34.672852 -61.825040
    Oben rechts KachelX + 1 13229 KachelY 23594 -0.60496367 -1.07905051 -34.661865 -61.825040
    Unten links KachelX 13228 KachelY + 1 23595 -0.60515542 -1.07914104 -34.672852 -61.830227
    Unten rechts KachelX + 1 13229 KachelY + 1 23595 -0.60496367 -1.07914104 -34.661865 -61.830227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07905051--1.07914104) × R
    9.05300000000331e-05 × 6371000     		dl = 576.766630000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07905051--1.07914104) × R
    9.05300000000331e-05 × 6371000     		dr = 576.766630000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60515542--0.60496367) × cos(-1.07905051) × R
    0.000191750000000046 × 0.472165561707363 × 6371000     		do = 576.81598268015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60515542--0.60496367) × cos(-1.07914104) × R
    0.000191750000000046 × 0.472085756682468 × 6371000     		du = 576.718489729391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07905051)-sin(-1.07914104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472165561707363-0.472085756682468)×R²
    abs(-0.60496367--0.60515542)×7.98050248951854e-05×R²
    0.000191750000000046×7.98050248951854e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.98050248951854e-05×40589641000000     		ar = 332660.095348014m²