Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1322 / 722
↖ ↑ ↗
← N 81.400802°
W121.904297°		 ← 730.64 m → N 81.400802°
W121.860351°		 →
↑
730.88 m
↓
↑
730.88 m
↓
N 81.394229°
W121.904297°		 ← 731.19 m →
534 211 m²		 N 81.394229°
W121.860351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16143798828125 y=0.08819580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16143798828125 × 213)
    floor (0.16143798828125 × 8192)
    floor (1322.5)     		tx = 1322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08819580078125 × 213)
    floor (0.08819580078125 × 8192)
    floor (722.5)     		ty = 722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1322 / 722 ti = "13/1322/722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1322/722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1322 ÷ 213
    1322 ÷ 8192     		x = 0.161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 722 ÷ 213
    722 ÷ 8192     		y = 0.088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.67724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12763135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088134765625 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12763135} λ = -2.12763135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58782558908911))-π/2
    2×atan(13.3008186915532)-π/2
    2×1.4957541651516-π/2
    2.9915083303032-1.57079632675     		φ = 1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12763135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1322 KachelY 722 -2.12763135 1.42071200 -121.904297 81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 1323 KachelY 722 -2.12686436 1.42071200 -121.860351 81.400802
    Unten links KachelX 1322 KachelY + 1 723 -2.12763135 1.42059728 -121.904297 81.394229
    Unten rechts KachelX + 1 1323 KachelY + 1 723 -2.12686436 1.42059728 -121.860351 81.394229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42071200-1.42059728) × R
    0.000114720000000013 × 6371000     		dl = 730.88112000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42071200-1.42059728) × R
    0.000114720000000013 × 6371000     		dr = 730.88112000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12763135--2.12686436) × cos(1.42071200) × R
    0.000766990000000245 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 730.635864307576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12763135--2.12686436) × cos(1.42059728) × R
    0.000766990000000245 × 0.149634941225908 × 6371000     		du = 731.190136250176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42071200)-sin(1.42059728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149634941225908)×R²
    abs(-2.12686436--2.12763135)×0.000113429387846475×R²
    0.000766990000000245×0.000113429387846475×6371000²
    0.000766990000000245×0.000113429387846475×40589641000000     		ar = 534210.512853096m²