Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13214 / 5530
↖ ↑ ↗
← N 50.373496°
E110.346680°		 ← 1 558.23 m → N 50.373496°
E110.368652°		 →
↑
1 558.47 m
↓
↑
1 558.47 m
↓
N 50.359480°
E110.346680°		 ← 1 558.69 m →
2 428 826 m²		 N 50.359480°
E110.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806549072265625 y=0.337554931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806549072265625 × 214)
    floor (0.806549072265625 × 16384)
    floor (13214.5)     		tx = 13214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337554931640625 × 214)
    floor (0.337554931640625 × 16384)
    floor (5530.5)     		ty = 5530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13214 / 5530 ti = "14/13214/5530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13214/5530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13214 ÷ 214
    13214 ÷ 16384     		x = 0.8065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5530 ÷ 214
    5530 ÷ 16384     		y = 0.3375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8065185546875 × 2 - 1) × π
    0.613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92591288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3375244140625 × 2 - 1) × π
    0.324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02086421430872
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92591288} λ = 1.92591288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02086421430872))-π/2
    2×atan(2.77559243446152)-π/2
    2×1.22498984511753-π/2
    2.44997969023505-1.57079632675     		φ = 0.87918336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92591288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87918336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.373496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13214 KachelY 5530 1.92591288 0.87918336 110.346680 50.373496
    Oben rechts KachelX + 1 13215 KachelY 5530 1.92629637 0.87918336 110.368652 50.373496
    Unten links KachelX 13214 KachelY + 1 5531 1.92591288 0.87893874 110.346680 50.359480
    Unten rechts KachelX + 1 13215 KachelY + 1 5531 1.92629637 0.87893874 110.368652 50.359480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87918336-0.87893874) × R
    0.000244619999999918 × 6371000     		dl = 1558.47401999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87918336-0.87893874) × R
    0.000244619999999918 × 6371000     		dr = 1558.47401999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92591288-1.92629637) × cos(0.87918336) × R
    0.000383489999999931 × 0.637780347868364 × 6371000     		do = 1558.23437868305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92591288-1.92629637) × cos(0.87893874) × R
    0.000383489999999931 × 0.637968739584697 × 6371000     		du = 1558.69466011071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87918336)-sin(0.87893874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637780347868364-0.637968739584697)×R²
    abs(1.92629637-1.92591288)×0.00018839171633267×R²
    0.000383489999999931×0.00018839171633267×6371000²
    0.000383489999999931×0.00018839171633267×40589641000000     		ar = 2428826.47668272m²