Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13214 / 5420
↖ ↑ ↗
← N 51.890054°
E110.346680°		 ← 1 507.88 m → N 51.890054°
E110.368652°		 →
↑
1 508.14 m
↓
↑
1 508.14 m
↓
N 51.876491°
E110.346680°		 ← 1 508.34 m →
2 274 449 m²		 N 51.876491°
E110.368652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806549072265625 y=0.330841064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806549072265625 × 214)
    floor (0.806549072265625 × 16384)
    floor (13214.5)     		tx = 13214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330841064453125 × 214)
    floor (0.330841064453125 × 16384)
    floor (5420.5)     		ty = 5420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13214 / 5420 ti = "14/13214/5420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13214/5420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13214 ÷ 214
    13214 ÷ 16384     		x = 0.8065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5420 ÷ 214
    5420 ÷ 16384     		y = 0.330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8065185546875 × 2 - 1) × π
    0.613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.92591288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330810546875 × 2 - 1) × π
    0.33837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.06304868597437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92591288} λ = 1.92591288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06304868597437))-π/2
    2×atan(2.89518405532912)-π/2
    2×1.23822430849156-π/2
    2.47644861698312-1.57079632675     		φ = 0.90565229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92591288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90565229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.890054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13214 KachelY 5420 1.92591288 0.90565229 110.346680 51.890054
    Oben rechts KachelX + 1 13215 KachelY 5420 1.92629637 0.90565229 110.368652 51.890054
    Unten links KachelX 13214 KachelY + 1 5421 1.92591288 0.90541557 110.346680 51.876491
    Unten rechts KachelX + 1 13215 KachelY + 1 5421 1.92629637 0.90541557 110.368652 51.876491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90565229-0.90541557) × R
    0.000236720000000079 × 6371000     		dl = 1508.1431200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90565229-0.90541557) × R
    0.000236720000000079 × 6371000     		dr = 1508.1431200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92591288-1.92629637) × cos(0.90565229) × R
    0.000383489999999931 × 0.617172471298336 × 6371000     		do = 1507.88490985667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92591288-1.92629637) × cos(0.90541557) × R
    0.000383489999999931 × 0.617358711904502 × 6371000     		du = 1508.33993566016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90565229)-sin(0.90541557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617172471298336-0.617358711904502)×R²
    abs(1.92629637-1.92591288)×0.000186240606166121×R²
    0.000383489999999931×0.000186240606166121×6371000²
    0.000383489999999931×0.000186240606166121×40589641000000     		ar = 2274449.38519169m²