Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13214 / 2838
↖ ↑ ↗
← N 81.482548°
W 34.826660°		 ← 180.94 m → N 81.482548°
W 34.815674°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
N 81.480921°
W 34.826660°		 ← 180.97 m →
32 741 m²		 N 81.480921°
W 34.815674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403274536132812 y=0.0866241455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403274536132812 × 215)
    floor (0.403274536132812 × 32768)
    floor (13214.5)     		tx = 13214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0866241455078125 × 215)
    floor (0.0866241455078125 × 32768)
    floor (2838.5)     		ty = 2838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13214 / 2838 ti = "15/13214/2838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13214/2838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13214 ÷ 215
    13214 ÷ 32768     		x = 0.40325927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2838 ÷ 215
    2838 ÷ 32768     		y = 0.08660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.1934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60783989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08660888671875 × 2 - 1) × π
    0.8267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59741296901312
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60783989} λ = -0.60783989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59741296901312))-π/2
    2×atan(13.4289519432557)-π/2
    2×1.49646753807339-π/2
    2.99293507614678-1.57079632675     		φ = 1.42213875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60783989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.826660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42213875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.482548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13214 KachelY 2838 -0.60783989 1.42213875 -34.826660 81.482548
    Oben rechts KachelX + 1 13215 KachelY 2838 -0.60764814 1.42213875 -34.815674 81.482548
    Unten links KachelX 13214 KachelY + 1 2839 -0.60783989 1.42211035 -34.826660 81.480921
    Unten rechts KachelX + 1 13215 KachelY + 1 2839 -0.60764814 1.42211035 -34.815674 81.480921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42213875-1.42211035) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dl = 180.936399999544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42213875-1.42211035) × R
    2.83999999999285e-05 × 6371000     		dr = 180.936399999544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60783989--0.60764814) × cos(1.42213875) × R
    0.000191750000000046 × 0.148110648981498 × 6371000     		do = 180.937782138814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60783989--0.60764814) × cos(1.42211035) × R
    0.000191750000000046 × 0.148138735692376 × 6371000     		du = 180.972093967225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42213875)-sin(1.42211035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148110648981498-0.148138735692376)×R²
    abs(-0.60764814--0.60783989)×2.80867108770622e-05×R²
    0.000191750000000046×2.80867108770622e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.80867108770622e-05×40589641000000     		ar = 32741.3350558709m²