Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13210 / 2842
↖ ↑ ↗
← N 81.476037°
W 34.870606°		 ← 181.08 m → N 81.476037°
W 34.859619°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
N 81.474408°
W 34.870606°		 ← 181.11 m →
32 801 m²		 N 81.474408°
W 34.859619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403152465820312 y=0.0867462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403152465820312 × 215)
    floor (0.403152465820312 × 32768)
    floor (13210.5)     		tx = 13210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0867462158203125 × 215)
    floor (0.0867462158203125 × 32768)
    floor (2842.5)     		ty = 2842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13210 / 2842 ti = "15/13210/2842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13210/2842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13210 ÷ 215
    13210 ÷ 32768     		x = 0.40313720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2842 ÷ 215
    2842 ÷ 32768     		y = 0.08673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40313720703125 × 2 - 1) × π
    -0.1937255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.60860688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08673095703125 × 2 - 1) × π
    0.8265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5966459786192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60860688} λ = -0.60860688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5966459786192))-π/2
    2×atan(13.4186560150586)-π/2
    2×1.49641071680314-π/2
    2.99282143360628-1.57079632675     		φ = 1.42202511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60860688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.870606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42202511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.476037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13210 KachelY 2842 -0.60860688 1.42202511 -34.870606 81.476037
    Oben rechts KachelX + 1 13211 KachelY 2842 -0.60841513 1.42202511 -34.859619 81.476037
    Unten links KachelX 13210 KachelY + 1 2843 -0.60860688 1.42199668 -34.870606 81.474408
    Unten rechts KachelX + 1 13211 KachelY + 1 2843 -0.60841513 1.42199668 -34.859619 81.474408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42202511-1.42199668) × R
    2.84300000001902e-05 × 6371000     		dl = 181.127530001212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42202511-1.42199668) × R
    2.84300000001902e-05 × 6371000     		dr = 181.127530001212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60860688--0.60841513) × cos(1.42202511) × R
    0.000191749999999935 × 0.148223034666178 × 6371000     		do = 181.075076902252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60860688--0.60841513) × cos(1.42199668) × R
    0.000191749999999935 × 0.148251150567312 × 6371000     		du = 181.109424390627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42202511)-sin(1.42199668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148223034666178-0.148251150567312)×R²
    abs(-0.60841513--0.60860688)×2.81159011342458e-05×R²
    0.000191749999999935×2.81159011342458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.81159011342458e-05×40589641000000     		ar = 32800.7920643645m²