Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1321 / 826
↖ ↑ ↗
← N 80.689788°
W121.948242°		 ← 790.54 m → N 80.689788°
W121.904297°		 →
↑
790.83 m
↓
↑
790.83 m
↓
N 80.682676°
W121.948242°		 ← 791.13 m →
625 418 m²		 N 80.682676°
W121.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16131591796875 y=0.10089111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16131591796875 × 213)
    floor (0.16131591796875 × 8192)
    floor (1321.5)     		tx = 1321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10089111328125 × 213)
    floor (0.10089111328125 × 8192)
    floor (826.5)     		ty = 826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1321 / 826 ti = "13/1321/826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1321/826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1321 ÷ 213
    1321 ÷ 8192     		x = 0.1612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 826 ÷ 213
    826 ÷ 8192     		y = 0.100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12839834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100830078125 × 2 - 1) × π
    0.79833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.50805858812134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12839834} λ = -2.12839834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50805858812134))-π/2
    2×atan(12.281064297259)-π/2
    2×1.48954940447619-π/2
    2.97909880895238-1.57079632675     		φ = 1.40830248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12839834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40830248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.689788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1321 KachelY 826 -2.12839834 1.40830248 -121.948242 80.689788
    Oben rechts KachelX + 1 1322 KachelY 826 -2.12763135 1.40830248 -121.904297 80.689788
    Unten links KachelX 1321 KachelY + 1 827 -2.12839834 1.40817835 -121.948242 80.682676
    Unten rechts KachelX + 1 1322 KachelY + 1 827 -2.12763135 1.40817835 -121.904297 80.682676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40830248-1.40817835) × R
    0.000124129999999889 × 6371000     		dl = 790.832229999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40830248-1.40817835) × R
    0.000124129999999889 × 6371000     		dr = 790.832229999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12839834--2.12763135) × cos(1.40830248) × R
    0.000766989999999801 × 0.161779702237399 × 6371000     		do = 790.535429441042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12839834--2.12763135) × cos(1.40817835) × R
    0.000766989999999801 × 0.161902195813645 × 6371000     		du = 791.133993479436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40830248)-sin(1.40817835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161779702237399-0.161902195813645)×R²
    abs(-2.12763135--2.12839834)×0.000122493576245969×R²
    0.000766989999999801×0.000122493576245969×6371000²
    0.000766989999999801×0.000122493576245969×40589641000000     		ar = 625417.579229049m²