Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13209 / 6573
↖ ↑ ↗
← N 33.486435°
E110.236816°		 ← 2 037.73 m → N 33.486435°
E110.258789°		 →
↑
2 037.89 m
↓
↑
2 037.89 m
↓
N 33.468108°
E110.236816°		 ← 2 038.17 m →
4 153 122 m²		 N 33.468108°
E110.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806243896484375 y=0.401214599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806243896484375 × 214)
    floor (0.806243896484375 × 16384)
    floor (13209.5)     		tx = 13209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401214599609375 × 214)
    floor (0.401214599609375 × 16384)
    floor (6573.5)     		ty = 6573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13209 / 6573 ti = "14/13209/6573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13209/6573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13209 ÷ 214
    13209 ÷ 16384     		x = 0.80621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6573 ÷ 214
    6573 ÷ 16384     		y = 0.40118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80621337890625 × 2 - 1) × π
    0.6124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92399540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40118408203125 × 2 - 1) × π
    0.1976318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.620878723878967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92399540} λ = 1.92399540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.620878723878967))-π/2
    2×atan(1.86056224420716)-π/2
    2×1.0776224400783-π/2
    2.1552448801566-1.57079632675     		φ = 0.58444855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92399540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.236816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58444855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.486435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13209 KachelY 6573 1.92399540 0.58444855 110.236816 33.486435
    Oben rechts KachelX + 1 13210 KachelY 6573 1.92437890 0.58444855 110.258789 33.486435
    Unten links KachelX 13209 KachelY + 1 6574 1.92399540 0.58412868 110.236816 33.468108
    Unten rechts KachelX + 1 13210 KachelY + 1 6574 1.92437890 0.58412868 110.258789 33.468108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58444855-0.58412868) × R
    0.00031987 × 6371000     		dl = 2037.89177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58444855-0.58412868) × R
    0.00031987 × 6371000     		dr = 2037.89177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92399540-1.92437890) × cos(0.58444855) × R
    0.000383500000000092 × 0.834016469456278 × 6371000     		do = 2037.73450846892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92399540-1.92437890) × cos(0.58412868) × R
    0.000383500000000092 × 0.834192911715489 × 6371000     		du = 2038.16560604734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58444855)-sin(0.58412868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834016469456278-0.834192911715489)×R²
    abs(1.92437890-1.92399540)×0.00017644225921043×R²
    0.000383500000000092×0.00017644225921043×6371000²
    0.000383500000000092×0.00017644225921043×40589641000000     		ar = 4153121.68476863m²