Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13207 / 6554
↖ ↑ ↗
← N 33.833920°
E110.192871°		 ← 2 029.52 m → N 33.833920°
E110.214844°		 →
↑
2 029.67 m
↓
↑
2 029.67 m
↓
N 33.815667°
E110.192871°		 ← 2 029.95 m →
4 119 705 m²		 N 33.815667°
E110.214844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806121826171875 y=0.400054931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806121826171875 × 214)
    floor (0.806121826171875 × 16384)
    floor (13207.5)     		tx = 13207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400054931640625 × 214)
    floor (0.400054931640625 × 16384)
    floor (6554.5)     		ty = 6554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13207 / 6554 ti = "14/13207/6554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13207/6554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13207 ÷ 214
    13207 ÷ 16384     		x = 0.80609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6554 ÷ 214
    6554 ÷ 16384     		y = 0.4000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80609130859375 × 2 - 1) × π
    0.6121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92322841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4000244140625 × 2 - 1) × π
    0.199951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.628165132621216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92322841} λ = 1.92322841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.628165132621216))-π/2
    2×atan(1.87416857164184)-π/2
    2×1.08065481441373-π/2
    2.16130962882746-1.57079632675     		φ = 0.59051330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92322841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59051330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.833920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13207 KachelY 6554 1.92322841 0.59051330 110.192871 33.833920
    Oben rechts KachelX + 1 13208 KachelY 6554 1.92361191 0.59051330 110.214844 33.833920
    Unten links KachelX 13207 KachelY + 1 6555 1.92322841 0.59019472 110.192871 33.815667
    Unten rechts KachelX + 1 13208 KachelY + 1 6555 1.92361191 0.59019472 110.214844 33.815667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59051330-0.59019472) × R
    0.000318580000000068 × 6371000     		dl = 2029.67318000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59051330-0.59019472) × R
    0.000318580000000068 × 6371000     		dr = 2029.67318000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92322841-1.92361191) × cos(0.59051330) × R
    0.00038349999999987 × 0.830654989532812 × 6371000     		do = 2029.52147684256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92322841-1.92361191) × cos(0.59019472) × R
    0.00038349999999987 × 0.830832328729544 × 6371000     		du = 2029.95476588914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59051330)-sin(0.59019472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.830654989532812-0.830832328729544)×R²
    abs(1.92361191-1.92322841)×0.000177339196731241×R²
    0.00038349999999987×0.000177339196731241×6371000²
    0.00038349999999987×0.000177339196731241×40589641000000     		ar = 4119705.06220257m²