Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13206 / 2904
↖ ↑ ↗
← N 81.374479°
W 34.914551°		 ← 183.22 m → N 81.374479°
W 34.903564°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
N 81.372831°
W 34.914551°		 ← 183.25 m →
33 574 m²		 N 81.372831°
W 34.903564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403030395507812 y=0.0886383056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403030395507812 × 215)
    floor (0.403030395507812 × 32768)
    floor (13206.5)     		tx = 13206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0886383056640625 × 215)
    floor (0.0886383056640625 × 32768)
    floor (2904.5)     		ty = 2904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13206 / 2904 ti = "15/13206/2904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13206/2904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13206 ÷ 215
    13206 ÷ 32768     		x = 0.40301513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2904 ÷ 215
    2904 ÷ 32768     		y = 0.088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1939697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60937387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088623046875 × 2 - 1) × π
    0.82275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60937387} λ = -0.60937387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58475762751343))-π/2
    2×atan(13.2600748231518)-π/2
    2×1.49552445380302-π/2
    2.99104890760603-1.57079632675     		φ = 1.42025258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60937387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.914551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42025258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.374479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13206 KachelY 2904 -0.60937387 1.42025258 -34.914551 81.374479
    Oben rechts KachelX + 1 13207 KachelY 2904 -0.60918212 1.42025258 -34.903564 81.374479
    Unten links KachelX 13206 KachelY + 1 2905 -0.60937387 1.42022382 -34.914551 81.372831
    Unten rechts KachelX + 1 13207 KachelY + 1 2905 -0.60918212 1.42022382 -34.903564 81.372831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42025258-1.42022382) × R
    2.87600000001831e-05 × 6371000     		dl = 183.229960001166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42025258-1.42022382) × R
    2.87600000001831e-05 × 6371000     		dr = 183.229960001166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60937387--0.60918212) × cos(1.42025258) × R
    0.000191749999999935 × 0.149975751460138 × 6371000     		do = 183.216264531888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60937387--0.60918212) × cos(1.42022382) × R
    0.000191749999999935 × 0.15000418611317 × 6371000     		du = 183.251001420091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42025258)-sin(1.42022382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149975751460138-0.15000418611317)×R²
    abs(-0.60918212--0.60937387)×2.84346530315671e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84346530315671e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84346530315671e-05×40589641000000     		ar = 33573.8912436779m²