Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13202 / 2918
↖ ↑ ↗
← N 81.351380°
W 34.958496°		 ← 183.70 m → N 81.351380°
W 34.947510°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
N 81.349728°
W 34.958496°		 ← 183.74 m →
33 757 m²		 N 81.349728°
W 34.947510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402908325195312 y=0.0890655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402908325195312 × 215)
    floor (0.402908325195312 × 32768)
    floor (13202.5)     		tx = 13202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0890655517578125 × 215)
    floor (0.0890655517578125 × 32768)
    floor (2918.5)     		ty = 2918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13202 / 2918 ti = "15/13202/2918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13202/2918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13202 ÷ 215
    13202 ÷ 32768     		x = 0.40289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2918 ÷ 215
    2918 ÷ 32768     		y = 0.08905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61014086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08905029296875 × 2 - 1) × π
    0.8218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.5820731611347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61014086} λ = -0.61014086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5820731611347))-π/2
    2×atan(13.2245263338199)-π/2
    2×1.49532288400303-π/2
    2.99064576800606-1.57079632675     		φ = 1.41984944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61014086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41984944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.351380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13202 KachelY 2918 -0.61014086 1.41984944 -34.958496 81.351380
    Oben rechts KachelX + 1 13203 KachelY 2918 -0.60994911 1.41984944 -34.947510 81.351380
    Unten links KachelX 13202 KachelY + 1 2919 -0.61014086 1.41982060 -34.958496 81.349728
    Unten rechts KachelX + 1 13203 KachelY + 1 2919 -0.60994911 1.41982060 -34.947510 81.349728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41984944-1.41982060) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dl = 183.739639999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41984944-1.41982060) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dr = 183.739639999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61014086--0.60994911) × cos(1.41984944) × R
    0.000191750000000046 × 0.150374319617859 × 6371000     		do = 183.703171037266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61014086--0.60994911) × cos(1.41982060) × R
    0.000191750000000046 × 0.150402831619535 × 6371000     		du = 183.738002417609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41984944)-sin(1.41982060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150374319617859-0.150402831619535)×R²
    abs(-0.60994911--0.61014086)×2.85120016752516e-05×R²
    0.000191750000000046×2.85120016752516e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.85120016752516e-05×40589641000000     		ar = 33756.7544674462m²