Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13201 / 2831
↖ ↑ ↗
← N 81.493931°
W 34.969483°		 ← 180.70 m → N 81.493931°
W 34.958496°		 →
↑
180.75 m
↓
↑
180.75 m
↓
N 81.492306°
W 34.969483°		 ← 180.73 m →
32 663 m²		 N 81.492306°
W 34.958496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402877807617188 y=0.0864105224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402877807617188 × 215)
    floor (0.402877807617188 × 32768)
    floor (13201.5)     		tx = 13201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0864105224609375 × 215)
    floor (0.0864105224609375 × 32768)
    floor (2831.5)     		ty = 2831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13201 / 2831 ti = "15/13201/2831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13201/2831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13201 ÷ 215
    13201 ÷ 32768     		x = 0.402862548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2831 ÷ 215
    2831 ÷ 32768     		y = 0.086395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.19427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61033261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086395263671875 × 2 - 1) × π
    0.82720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59875520220248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61033261} λ = -0.61033261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59875520220248))-π/2
    2×atan(13.4469888303987)-π/2
    2×1.49656687164381-π/2
    2.99313374328762-1.57079632675     		φ = 1.42233742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61033261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.969483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42233742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.493931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13201 KachelY 2831 -0.61033261 1.42233742 -34.969483 81.493931
    Oben rechts KachelX + 1 13202 KachelY 2831 -0.61014086 1.42233742 -34.958496 81.493931
    Unten links KachelX 13201 KachelY + 1 2832 -0.61033261 1.42230905 -34.969483 81.492306
    Unten rechts KachelX + 1 13202 KachelY + 1 2832 -0.61014086 1.42230905 -34.958496 81.492306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42233742-1.42230905) × R
    2.83700000001108e-05 × 6371000     		dl = 180.745270000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42233742-1.42230905) × R
    2.83700000001108e-05 × 6371000     		dr = 180.745270000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61033261--0.61014086) × cos(1.42233742) × R
    0.000191750000000046 × 0.147914167231771 × 6371000     		do = 180.697752321439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61033261--0.61014086) × cos(1.42230905) × R
    0.000191750000000046 × 0.147942225107967 × 6371000     		du = 180.732028924272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42233742)-sin(1.42230905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147914167231771-0.147942225107967)×R²
    abs(-0.61014086--0.61033261)×2.80578761961414e-05×R²
    0.000191750000000046×2.80578761961414e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.80578761961414e-05×40589641000000     		ar = 32663.361700835m²