Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13201 / 12141
↖ ↑ ↗
← S 65.192251°
E110.061035°		 ← 1 025.14 m → S 65.192251°
E110.083008°		 →
↑
1 024.97 m
↓
↑
1 024.97 m
↓
S 65.201468°
E110.061035°		 ← 1 024.78 m →
1 050 549 m²		 S 65.201468°
E110.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805755615234375 y=0.741058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805755615234375 × 214)
    floor (0.805755615234375 × 16384)
    floor (13201.5)     		tx = 13201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741058349609375 × 214)
    floor (0.741058349609375 × 16384)
    floor (12141.5)     		ty = 12141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13201 / 12141 ti = "14/13201/12141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13201/12141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13201 ÷ 214
    13201 ÷ 16384     		x = 0.80572509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12141 ÷ 214
    12141 ÷ 16384     		y = 0.74102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80572509765625 × 2 - 1) × π
    0.6114501953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92092744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.4820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51442253279681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92092744} λ = 1.92092744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51442253279681))-π/2
    2×atan(0.219935153522097)-π/2
    2×0.216488451332215-π/2
    0.43297690266443-1.57079632675     		φ = -1.13781942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92092744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13781942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.192251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13201 KachelY 12141 1.92092744 -1.13781942 110.061035 -65.192251
    Oben rechts KachelX + 1 13202 KachelY 12141 1.92131094 -1.13781942 110.083008 -65.192251
    Unten links KachelX 13201 KachelY + 1 12142 1.92092744 -1.13798030 110.061035 -65.201468
    Unten rechts KachelX + 1 13202 KachelY + 1 12142 1.92131094 -1.13798030 110.083008 -65.201468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13781942--1.13798030) × R
    0.000160879999999919 × 6371000     		dl = 1024.96647999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13781942--1.13798030) × R
    0.000160879999999919 × 6371000     		dr = 1024.96647999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92092744-1.92131094) × cos(-1.13781942) × R
    0.00038349999999987 × 0.41957485760138 × 6371000     		do = 1025.13822871767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92092744-1.92131094) × cos(-1.13798030) × R
    0.00038349999999987 × 0.419428818059824 × 6371000     		du = 1024.78141344563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13781942)-sin(-1.13798030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41957485760138-0.419428818059824)×R²
    abs(1.92131094-1.92092744)×0.000146039541555842×R²
    0.00038349999999987×0.000146039541555842×6371000²
    0.00038349999999987×0.000146039541555842×40589641000000     		ar = 1050549.46222047m²