Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13200 / 2768
↖ ↑ ↗
← N 81.595699°
W 34.980469°		 ← 178.54 m → N 81.595699°
W 34.969483°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
N 81.594093°
W 34.980469°		 ← 178.58 m →
31 887 m²		 N 81.594093°
W 34.969483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402847290039062 y=0.0844879150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402847290039062 × 215)
    floor (0.402847290039062 × 32768)
    floor (13200.5)     		tx = 13200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0844879150390625 × 215)
    floor (0.0844879150390625 × 32768)
    floor (2768.5)     		ty = 2768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13200 / 2768 ti = "15/13200/2768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13200/2768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13200 ÷ 215
    13200 ÷ 32768     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2768 ÷ 215
    2768 ÷ 32768     		y = 0.08447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08447265625 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61083530090674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61083530090674))-π/2
    2×atan(13.6104148968761)-π/2
    2×1.49745496438033-π/2
    2.99490992876067-1.57079632675     		φ = 1.42411360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42411360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.595699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13200 KachelY 2768 -0.61052435 1.42411360 -34.980469 81.595699
    Oben rechts KachelX + 1 13201 KachelY 2768 -0.61033261 1.42411360 -34.969483 81.595699
    Unten links KachelX 13200 KachelY + 1 2769 -0.61052435 1.42408557 -34.980469 81.594093
    Unten rechts KachelX + 1 13201 KachelY + 1 2769 -0.61033261 1.42408557 -34.969483 81.594093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42411360-1.42408557) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dl = 178.579130001139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42411360-1.42408557) × R
    2.80300000001787e-05 × 6371000     		dr = 178.579130001139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.61033261) × cos(1.42411360) × R
    0.000191739999999996 × 0.146157292456126 × 6371000     		do = 178.542173457026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.61033261) × cos(1.42408557) × R
    0.000191739999999996 × 0.146185021394733 × 6371000     		du = 178.576046450178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42411360)-sin(1.42408557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146157292456126-0.146185021394733)×R²
    abs(-0.61033261--0.61052435)×2.77289386067248e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77289386067248e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77289386067248e-05×40589641000000     		ar = 31886.9305113994m²