Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13200 / 12139
↖ ↑ ↗
← S 65.173806°
E110.039063°		 ← 1 025.83 m → S 65.173806°
E110.061035°		 →
↑
1 025.67 m
↓
↑
1 025.67 m
↓
S 65.183030°
E110.039063°		 ← 1 025.47 m →
1 051 972 m²		 S 65.183030°
E110.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805694580078125 y=0.740936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805694580078125 × 214)
    floor (0.805694580078125 × 16384)
    floor (13200.5)     		tx = 13200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740936279296875 × 214)
    floor (0.740936279296875 × 16384)
    floor (12139.5)     		ty = 12139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13200 / 12139 ti = "14/13200/12139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13200/12139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13200 ÷ 214
    13200 ÷ 16384     		x = 0.8056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12139 ÷ 214
    12139 ÷ 16384     		y = 0.74090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8056640625 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92054395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92054395} λ = 1.92054395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51365554240289))-π/2
    2×atan(0.220103906379772)-π/2
    2×0.216649412295717-π/2
    0.433298824591434-1.57079632675     		φ = -1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92054395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.039063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13200 KachelY 12139 1.92054395 -1.13749750 110.039063 -65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 13201 KachelY 12139 1.92092744 -1.13749750 110.061035 -65.173806
    Unten links KachelX 13200 KachelY + 1 12140 1.92054395 -1.13765849 110.039063 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 13201 KachelY + 1 12140 1.92092744 -1.13765849 110.061035 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13749750--1.13765849) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dl = 1025.66728999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13749750--1.13765849) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dr = 1025.66728999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92054395-1.92092744) × cos(-1.13749750) × R
    0.000383489999999931 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 1025.82538472144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92054395-1.92092744) × cos(-1.13765849) × R
    0.000383489999999931 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 1025.46838791877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13749750)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419720931666003)×R²
    abs(1.92092744-1.92054395)×0.000146117649633348×R²
    0.000383489999999931×0.000146117649633348×6371000²
    0.000383489999999931×0.000146117649633348×40589641000000     		ar = 1051972.46466122m²