Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1320 / 699
↖ ↑ ↗
← N 81.550619°
W121.992187°		 ← 718 m → N 81.550619°
W121.948242°		 →
↑
718.33 m
↓
↑
718.33 m
↓
N 81.544159°
W121.992187°		 ← 718.54 m →
515 957 m²		 N 81.544159°
W121.948242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16119384765625 y=0.08538818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16119384765625 × 213)
    floor (0.16119384765625 × 8192)
    floor (1320.5)     		tx = 1320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08538818359375 × 213)
    floor (0.08538818359375 × 8192)
    floor (699.5)     		ty = 699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1320 / 699 ti = "13/1320/699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1320/699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1320 ÷ 213
    1320 ÷ 8192     		x = 0.1611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 699 ÷ 213
    699 ÷ 8192     		y = 0.0853271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    -0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0853271484375 × 2 - 1) × π
    0.829345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60546636814929
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12916533} λ = -2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60546636814929))-π/2
    2×atan(13.5375373069942)-π/2
    2×1.49706156628992-π/2
    2.99412313257984-1.57079632675     		φ = 1.42332681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42332681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.550619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1320 KachelY 699 -2.12916533 1.42332681 -121.992187 81.550619
    Oben rechts KachelX + 1 1321 KachelY 699 -2.12839834 1.42332681 -121.948242 81.550619
    Unten links KachelX 1320 KachelY + 1 700 -2.12916533 1.42321406 -121.992187 81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 1321 KachelY + 1 700 -2.12839834 1.42321406 -121.948242 81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42332681-1.42321406) × R
    0.000112749999999995 × 6371000     		dl = 718.330249999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42332681-1.42321406) × R
    0.000112749999999995 × 6371000     		dr = 718.330249999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12916533--2.12839834) × cos(1.42332681) × R
    0.000766990000000245 × 0.146935588085735 × 6371000     		do = 717.999765243376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12916533--2.12839834) × cos(1.42321406) × R
    0.000766990000000245 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 718.544732797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42332681)-sin(1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146935588085735-0.147047113370081)×R²
    abs(-2.12839834--2.12916533)×0.000111525284346325×R²
    0.000766990000000245×0.000111525284346325×6371000²
    0.000766990000000245×0.000111525284346325×40589641000000     		ar = 515956.684751855m²