Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13198 / 25524
↖ ↑ ↗
← S 70.333533°
W 35.002441°		 ← 411.14 m → S 70.333533°
W 34.991455°		 →
↑
411.12 m
↓
↑
411.12 m
↓
S 70.337231°
W 35.002441°		 ← 411.06 m →
169 011 m²		 S 70.337231°
W 34.991455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402786254882812 y=0.778945922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402786254882812 × 215)
    floor (0.402786254882812 × 32768)
    floor (13198.5)     		tx = 13198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778945922851562 × 215)
    floor (0.778945922851562 × 32768)
    floor (25524.5)     		ty = 25524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13198 / 25524 ti = "15/13198/25524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13198/25524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13198 ÷ 215
    13198 ÷ 32768     		x = 0.40277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25524 ÷ 215
    25524 ÷ 32768     		y = 0.7789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61090785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75257305010925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61090785} λ = -0.61090785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75257305010925))-π/2
    2×atan(0.173327389135949)-π/2
    2×0.171622297558697-π/2
    0.343244595117394-1.57079632675     		φ = -1.22755173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61090785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.002441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22755173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.333533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13198 KachelY 25524 -0.61090785 -1.22755173 -35.002441 -70.333533
    Oben rechts KachelX + 1 13199 KachelY 25524 -0.61071610 -1.22755173 -34.991455 -70.333533
    Unten links KachelX 13198 KachelY + 1 25525 -0.61090785 -1.22761626 -35.002441 -70.337231
    Unten rechts KachelX + 1 13199 KachelY + 1 25525 -0.61071610 -1.22761626 -34.991455 -70.337231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22755173--1.22761626) × R
    6.45299999999516e-05 × 6371000     		dl = 411.120629999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22755173--1.22761626) × R
    6.45299999999516e-05 × 6371000     		dr = 411.120629999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61090785--0.61071610) × cos(-1.22755173) × R
    0.000191750000000046 × 0.336544190164127 × 6371000     		do = 411.135592064061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61090785--0.61071610) × cos(-1.22761626) × R
    0.000191750000000046 × 0.336483423648467 × 6371000     		du = 411.061357303445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22755173)-sin(-1.22761626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336544190164127-0.336483423648467)×R²
    abs(-0.61071610--0.61090785)×6.0766515659838e-05×R²
    0.000191750000000046×6.0766515659838e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.0766515659838e-05×40589641000000     		ar = 169011.063962432m²