Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13195 / 2921
↖ ↑ ↗
← N 81.346423°
W 35.035400°		 ← 183.81 m → N 81.346423°
W 35.024414°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 81.344770°
W 35.035400°		 ← 183.84 m →
33 788 m²		 N 81.344770°
W 35.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402694702148438 y=0.0891571044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402694702148438 × 215)
    floor (0.402694702148438 × 32768)
    floor (13195.5)     		tx = 13195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891571044921875 × 215)
    floor (0.0891571044921875 × 32768)
    floor (2921.5)     		ty = 2921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13195 / 2921 ti = "15/13195/2921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13195/2921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13195 ÷ 215
    13195 ÷ 32768     		x = 0.402679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2921 ÷ 215
    2921 ÷ 32768     		y = 0.089141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.19464111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61148309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089141845703125 × 2 - 1) × π
    0.82171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58149791833926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61148309} λ = -0.61148309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58149791833926))-π/2
    2×atan(13.2169212079299)-π/2
    2×1.49527962083068-π/2
    2.99055924166137-1.57079632675     		φ = 1.41976291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61148309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.035400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41976291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.346423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13195 KachelY 2921 -0.61148309 1.41976291 -35.035400 81.346423
    Oben rechts KachelX + 1 13196 KachelY 2921 -0.61129134 1.41976291 -35.024414 81.346423
    Unten links KachelX 13195 KachelY + 1 2922 -0.61148309 1.41973406 -35.035400 81.344770
    Unten rechts KachelX + 1 13196 KachelY + 1 2922 -0.61129134 1.41973406 -35.024414 81.344770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41976291-1.41973406) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dl = 183.803350000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41976291-1.41973406) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dr = 183.803350000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61148309--0.61129134) × cos(1.41976291) × R
    0.000191750000000046 × 0.150459865133732 × 6371000     		do = 183.807676797118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61148309--0.61129134) × cos(1.41973406) × R
    0.000191750000000046 × 0.15048838664612 × 6371000     		du = 183.84251979612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41976291)-sin(1.41973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150459865133732-0.15048838664612)×R²
    abs(-0.61129134--0.61148309)×2.85215123879967e-05×R²
    0.000191750000000046×2.85215123879967e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.85215123879967e-05×40589641000000     		ar = 33787.6688840682m²