Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13194 / 2922
↖ ↑ ↗
← N 81.344770°
W 35.046387°		 ← 183.84 m → N 81.344770°
W 35.035400°		 →
↑
183.87 m
↓
↑
183.87 m
↓
N 81.343116°
W 35.046387°		 ← 183.88 m →
33 806 m²		 N 81.343116°
W 35.035400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402664184570312 y=0.0891876220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402664184570312 × 215)
    floor (0.402664184570312 × 32768)
    floor (13194.5)     		tx = 13194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891876220703125 × 215)
    floor (0.0891876220703125 × 32768)
    floor (2922.5)     		ty = 2922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13194 / 2922 ti = "15/13194/2922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13194/2922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13194 ÷ 215
    13194 ÷ 32768     		x = 0.40264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2922 ÷ 215
    2922 ÷ 32768     		y = 0.08917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.1947021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61167484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08917236328125 × 2 - 1) × π
    0.8216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58130617074078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61167484} λ = -0.61167484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58130617074078))-π/2
    2×atan(13.2143871379876)-π/2
    2×1.49526519430491-π/2
    2.99053038860981-1.57079632675     		φ = 1.41973406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61167484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.046387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41973406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.344770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13194 KachelY 2922 -0.61167484 1.41973406 -35.046387 81.344770
    Oben rechts KachelX + 1 13195 KachelY 2922 -0.61148309 1.41973406 -35.035400 81.344770
    Unten links KachelX 13194 KachelY + 1 2923 -0.61167484 1.41970520 -35.046387 81.343116
    Unten rechts KachelX + 1 13195 KachelY + 1 2923 -0.61148309 1.41970520 -35.035400 81.343116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41973406-1.41970520) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dl = 183.867060000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41973406-1.41970520) × R
    2.88600000000194e-05 × 6371000     		dr = 183.867060000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61167484--0.61148309) × cos(1.41973406) × R
    0.000191750000000046 × 0.15048838664612 × 6371000     		do = 183.84251979612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61167484--0.61148309) × cos(1.41970520) × R
    0.000191750000000046 × 0.150516917919328 × 6371000     		du = 183.877374719323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41973406)-sin(1.41970520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15048838664612-0.150516917919328)×R²
    abs(-0.61148309--0.61167484)×2.85312732073995e-05×R²
    0.000191750000000046×2.85312732073995e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.85312732073995e-05×40589641000000     		ar = 33805.7879557602m²