Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13193 / 2886
↖ ↑ ↗
← N 81.404086°
W 35.057373°		 ← 182.59 m → N 81.404086°
W 35.046387°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 81.402444°
W 35.057373°		 ← 182.63 m →
33 343 m²		 N 81.402444°
W 35.046387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402633666992188 y=0.0880889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402633666992188 × 215)
    floor (0.402633666992188 × 32768)
    floor (13193.5)     		tx = 13193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880889892578125 × 215)
    floor (0.0880889892578125 × 32768)
    floor (2886.5)     		ty = 2886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13193 / 2886 ti = "15/13193/2886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13193/2886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13193 ÷ 215
    13193 ÷ 32768     		x = 0.402618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2886 ÷ 215
    2886 ÷ 32768     		y = 0.08807373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.19476318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61186659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08807373046875 × 2 - 1) × π
    0.8238525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.58820908428607
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61186659} λ = -0.61186659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58820908428607))-π/2
    2×atan(13.3059204698283)-π/2
    2×1.49578283010674-π/2
    2.99156566021348-1.57079632675     		φ = 1.42076933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61186659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.057373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42076933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.404086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13193 KachelY 2886 -0.61186659 1.42076933 -35.057373 81.404086
    Oben rechts KachelX + 1 13194 KachelY 2886 -0.61167484 1.42076933 -35.046387 81.404086
    Unten links KachelX 13193 KachelY + 1 2887 -0.61186659 1.42074067 -35.057373 81.402444
    Unten rechts KachelX + 1 13194 KachelY + 1 2887 -0.61167484 1.42074067 -35.046387 81.402444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42076933-1.42074067) × R
    2.86599999999027e-05 × 6371000     		dl = 182.59285999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42076933-1.42074067) × R
    2.86599999999027e-05 × 6371000     		dr = 182.59285999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61186659--0.61167484) × cos(1.42076933) × R
    0.000191749999999935 × 0.14946482606913 × 6371000     		do = 182.59209802041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61186659--0.61167484) × cos(1.42074067) × R
    0.000191749999999935 × 0.1494931640712 × 6371000     		du = 182.626716836005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42076933)-sin(1.42074067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14946482606913-0.1494931640712)×R²
    abs(-0.61167484--0.61186659)×2.83380020699719e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83380020699719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83380020699719e-05×40589641000000     		ar = 33343.173966735m²