Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13192 / 2920
↖ ↑ ↗
← N 81.348076°
W 35.068359°		 ← 183.76 m → N 81.348076°
W 35.057373°		 →
↑
183.80 m
↓
↑
183.80 m
↓
N 81.346423°
W 35.068359°		 ← 183.80 m →
33 780 m²		 N 81.346423°
W 35.057373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402603149414062 y=0.0891265869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402603149414062 × 215)
    floor (0.402603149414062 × 32768)
    floor (13192.5)     		tx = 13192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891265869140625 × 215)
    floor (0.0891265869140625 × 32768)
    floor (2920.5)     		ty = 2920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13192 / 2920 ti = "15/13192/2920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13192/2920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13192 ÷ 215
    13192 ÷ 32768     		x = 0.402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2920 ÷ 215
    2920 ÷ 32768     		y = 0.089111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61205833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089111328125 × 2 - 1) × π
    0.82177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58168966593774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61205833} λ = -0.61205833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58168966593774))-π/2
    2×atan(13.2194557638205)-π/2
    2×1.49529404462196-π/2
    2.99058808924392-1.57079632675     		φ = 1.41979176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61205833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.068359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41979176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.348076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13192 KachelY 2920 -0.61205833 1.41979176 -35.068359 81.348076
    Oben rechts KachelX + 1 13193 KachelY 2920 -0.61186659 1.41979176 -35.057373 81.348076
    Unten links KachelX 13192 KachelY + 1 2921 -0.61205833 1.41976291 -35.068359 81.346423
    Unten rechts KachelX + 1 13193 KachelY + 1 2921 -0.61186659 1.41976291 -35.057373 81.346423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41979176-1.41976291) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dl = 183.803350000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41979176-1.41976291) × R
    2.88500000000802e-05 × 6371000     		dr = 183.803350000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61205833--0.61186659) × cos(1.41979176) × R
    0.000191739999999996 × 0.150431343496113 × 6371000     		do = 183.763249664186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61205833--0.61186659) × cos(1.41976291) × R
    0.000191739999999996 × 0.150459865133732 × 6371000     		du = 183.798090999062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41979176)-sin(1.41976291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150431343496113-0.150459865133732)×R²
    abs(-0.61186659--0.61205833)×2.85216376191277e-05×R²
    0.000191739999999996×2.85216376191277e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.85216376191277e-05×40589641000000     		ar = 33779.5028742642m²