Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13192 / 2888
↖ ↑ ↗
← N 81.400802°
W 35.068359°		 ← 182.65 m → N 81.400802°
W 35.057373°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 81.399159°
W 35.068359°		 ← 182.69 m →
33 366 m²		 N 81.399159°
W 35.057373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402603149414062 y=0.0881500244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402603149414062 × 215)
    floor (0.402603149414062 × 32768)
    floor (13192.5)     		tx = 13192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0881500244140625 × 215)
    floor (0.0881500244140625 × 32768)
    floor (2888.5)     		ty = 2888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13192 / 2888 ti = "15/13192/2888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13192/2888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13192 ÷ 215
    13192 ÷ 32768     		x = 0.402587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2888 ÷ 215
    2888 ÷ 32768     		y = 0.088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61205833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088134765625 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58782558908911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61205833} λ = -0.61205833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58782558908911))-π/2
    2×atan(13.3008186915532)-π/2
    2×1.4957541651516-π/2
    2.9915083303032-1.57079632675     		φ = 1.42071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61205833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.068359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.400802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13192 KachelY 2888 -0.61205833 1.42071200 -35.068359 81.400802
    Oben rechts KachelX + 1 13193 KachelY 2888 -0.61186659 1.42071200 -35.057373 81.400802
    Unten links KachelX 13192 KachelY + 1 2889 -0.61205833 1.42068333 -35.068359 81.399159
    Unten rechts KachelX + 1 13193 KachelY + 1 2889 -0.61186659 1.42068333 -35.057373 81.399159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42071200-1.42068333) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dl = 182.656570000407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42071200-1.42068333) × R
    2.86700000000639e-05 × 6371000     		dr = 182.656570000407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61205833--0.61186659) × cos(1.42071200) × R
    0.000191739999999996 × 0.149521511838061 × 6371000     		do = 182.651821565192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61205833--0.61186659) × cos(1.42068333) × R
    0.000191739999999996 × 0.149549859482021 × 6371000     		du = 182.68645035367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42071200)-sin(1.42068333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149521511838061-0.149549859482021)×R²
    abs(-0.61186659--0.61205833)×2.8347643959814e-05×R²
    0.000191739999999996×2.8347643959814e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.8347643959814e-05×40589641000000     		ar = 33365.7178216573m²